¿Cuáles son los grupos de automorfismo de las variedades abelianas (principalmente polarizadas)?

Question

Cuáles son los posibles grupos de automorfismo de una variedad abeliana principalmente polarizada $(A,\lambda)$ de dimensión $g,$ digamos una superficie abeliana ( $g=2$ ) sobre los números complejos o el cierre algebraico de un campo finito? El hecho de que la pila de módulos $A_g$ es de diagonal finita (sobre los enteros) implica que los grupos de automorfismo son todos finitos, pero ¿sabemos más? Como el tamaño.

En $g=1$ figura en Silverman I, p.103.

Edita: Permítanme concretar la pregunta. Permítanme $(A,\lambda)$ ser un $\mathbb F_q$ -punto de $A_g$ (es decir, una variedad abeliana $A$ en $\mathbb F_q$ de dimensión $g$ y una polarización principal $\lambda$ ). Queremos considerar su grupo de automorfismo (sobre $\mathbb F_q$ ).

Sea $\pi:A_{g,N}\to A_g$ sea la proyección natural, donde $A_{g,N}$ es la pila de módulos de p.p.a.v. de dimensión $g$ con un nivel $N$ (un isomorfismo simpléctico $H^1(A,Z/N)\to(Z/N)^{2g}$ ). Siempre asumimos $q$ es primo de $N.$ Tenga en cuenta que $\pi$ es un $G$ -torsor, por $G=GSp(2g,Z/N),$ por lo que da un homomorfismo suryectivo $\pi_1(A_g)\to G.$ La gavilla $\pi_*\mathbb Q_l$ en $A_g$ es lisse (incluso localmente constante), correspondiente a la representación de $\pi_1(A_g)$ obtenida a partir de la representación regular $\mathbb Q_l[G]$ de $G$ y la proyección $\pi_1(A_g)\to G.$ Para cualquier $\mathbb F_q$ -punto $x$ de $A_g,$ el rastro local $\text{Tr}(Frob_x,(\pi_*\mathbb Q_l)_{\overline{x}})$ es $|G|$ o 0, en función de $Frob_x\in\pi_1(A_g)$ se asigna a 1 en $G$ o no.

Tenemos isomorfismos $H^i_c(A_{g,N},\mathbb Q_l)=H^i_c(A_g,\pi_*\mathbb Q_l).$ Por la fórmula de la traza de Lefschetz, aplicada a ambos $\mathbb Q_l$ en $A_{g,N}$ y $\pi_*\mathbb Q_l$ en $A_g,$ tenemos

$$|A_{g,N}(\mathbb F_q)|=|G|\sum_{x\in S} 1/\#Aut(A_x,\lambda_x),$$

donde $S$ es el subconjunto de $[A_g(\mathbb F_q)]$ formado por puntos $x$ de forma que $N$ -puntos de torsión de la variedad abeliana $A_x$ son racionales sobre $\mathbb F_q$ (es decir $|A_x[N](\mathbb F_q)|=N^{2g}$ ), y $(A_x,\lambda_x)$ es el par correspondiente a $x.$ Esta ecuación da algunas restricciones (una para cada $N$ ) que $|Aut(A,\lambda)|$ debe satisfacer. En particular, cuando $g=N=2$ y $q=3,$ tenemos $|A_{2,2}(\mathbb F_3)|=10$ y $|G|=720$ (en este caso $G$ es el grupo simétrico $S_6$ ), y esto se convierte en un rompecabezas de resolver $$ 1/72 = \sum 1/n_i, $$ y el $n_i$ cumplen algunas condiciones adicionales. ¿Alguna idea de cómo resolverlo? Estoy considerando las contribuciones de las dos partes en $A_2,$ uno para jacobianos de curvas suaves de género 2 y otro para jacobianos de singulares estables $E_1\times E_2$ . Se agradece cualquier sugerencia.

Editar : Tal vez sea más fácil resolverlo sobre $\mathbb F_5,$ ya que se conocen los (órdenes de los) grupos de automorfismo de curvas suaves de género 2 sobre campos finitos de característica 5.

Answer 1

La prueba estándar de finitud es la siguiente: la polarización define una involución positiva * en el álgebra de endomorfismos, por lo que los automorfismos son los elementos de End(A) que tensorizan los reales que están en End(A) y satisfacen a*a=1. Así, el conjunto de automorfismos es la intersección de un conjunto discreto y un conjunto compacto. Así, el conjunto de automorfismos es la intersección de un conjunto discreto y un conjunto compacto. Sea phi(n) el grado del campo que se obtiene adosando una enésima raíz de 1 a Q. Entonces ciertamente existen variedades abelianas de dimensión g sobre las que actúan las enésimas raíces de 1 si phi(n) divide a 2g (para cualquier campo CM E existe una variedad abeliana con multiplicación compleja por E). Sin embargo, a diferencia del caso de la curva elíptica, existen otras posibilidades.

Answer 2

Si empezamos con el mismo problema sobre los números complejos, entonces los grupos de automorfismo de variedades abelianas principalmente polarizadas de dimensión $g$ son exactamente los estabilizadores de $\mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb Z)$ en su acción sobre el espacio medio superior de Siegel $\mathbb H_g$ . Se trata de grupos finitos y es hecho general que un subgrupo finito de $\mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb Z)$ fija un punto de $\mathbb H_g$ . Por lo tanto la respuesta en ese caso son que los grupos de automorfismo son exactamente los subgrupos finitos maximales de $\mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb Z)$ . Obsérvese que, al igual que para $\mathrm{SL}_g(\mathbb Z)$ (que es un subgrupo de $\mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb Z)$ ) la clasificación de tales subgrupos finitos se vuelve rápidamente inabordable (para $g$ ).

Si intentamos utilizar esto para obtener límites inferiores para el caso en que el campo base sea el cierre de $\mathbb Z/p$ podemos empezar con un par $(A,G)$ de un p.p.a.v. y un grupo finito $G$ de automorfismos sobre un campo característico. Podemos entonces (después de cambiar adecuadamente los campos) suponer que el campo base es la fracción de un DVR $R$ de característica mixta con campo de residuos finito de característica $p$ y que $A$ tiene reducción semiestable sobre $R$ . La acción de $G$ se extiende y entonces obtenemos $G$ como subgrupo del grupo de automorfismo de una variedad semi-abeliana con una polarización principal de la parte abeliana de característica $p$ . Tenga en cuenta que si $G$ es grande (para alguna definición de "grande") entonces la reducción es necesariamente una variedad abeliana como el automorfismo de una variedad es "más pequeña". Esto debería dar un montón de características $p$ ejemplos.

Esto sin embargo no conseguirá todo ya que hay (ya en el caso de $g=1$ ) pares $(A,G)$ que no levantan a característica $0$ . Sin embargo, proporciona todos pares para los que el orden de $G$ es primo de $p$ . En principio debería ser resolver el problema con el enfoque sugerido en la respuesta de Milne. de Milne. Sin embargo, creo que hay un problema (aparte del hecho de que el problema algebraico algebraico se vuelve rápidamente intratable) en que es un problema un tanto complicado averiguar qué pares formados por una involución de Rosati y un orden estable en la son realizables mediante polarizaciones principales. Sin embargo, hay algunas construcciones que se pueden utilizar: Se puede tomar el producto de dos polarizaciones principales polarizados principalmente. También se puede tensorizar una AV polarizada principalmente con una forma hermitiana unimodular definida positiva sobre el anillo de endomorfismo con la involución de Rosati. Esto último incluye partir de una forma unimodular integral definida positiva de rango $g$ y realizando su automorfismo como el grupo de automorfismo del producto de $g$ copias de cualquier elíptica elíptica. Comenzando en su lugar con una curva elíptica supersingular probablemente dar mayores ejemplos.

El problema para campos finitos en lugar del cierre algebraico de uno es incluso aún más imprevisible.

Answer 3

Si fijas los puntos de 2 torsión, entonces todo lo que tienes es la involución x->-x; así que Z/2 veces SP_2g(2) es un límite desde arriba. Por otro lado, si tomamos A como la "potencia" g de alguna curva elíptica, creo que nos acercamos bastante a este límite.

Answer 4

Documento de Grushevsky GEOMETRÍA DE Ag Y SUS COMPACTIFICACIONES La observación 2.9 explica por qué la diagonal de A_g es finita; ¿quizás puedas hacer efectiva esa prueba?