Cierre de la esfera unitaria

Question

Estoy intentando aprender algo de análisis tensorial básico y geometría diferencial. En este momento, estoy leyendo Abraham, Marsden, y Ratiu's Múltiplos, análisis tensorial y aplicaciones . En las primeras secciones, definen la frontera de un subconjunto $A$ de un espacio topológico $S$ como la intersección del cierre de $A$ con el cierre de $S/A$ . Estaba repasando ejemplos de esto en mi cabeza y me he encontrado con un problema conceptual, posiblemente debido a un malentendido. ¿Quizás alguien me pueda ayudar?

Sea $S$ sea la topología habitual de los conjuntos abiertos en $\mathbb{R}^3$ y que $A$ sea la esfera unitaria. Quiero encontrar $bd(A)$ . Es fácil ver que $cl(A) = A$ pero no entiendo cómo encontrar $cl(S/A)$ . Mi primera suposición es que está vacío, ya que no se me ocurre ningún conjunto cerrado que contenga $S/A$ como subconjunto propio. Pero entonces eso implica

$bd(A)=cl(A) \cap cl(S/A)=A\cap\emptyset=\emptyset$

lo que va en contra de mi intuición. ¿Me he perdido algo o es cierto?

Answer 1

Tienes razón en que $A$ está cerrado. Pero el cierre de $(\mathbb{R}^3\setminus A)$ es $\mathbb{R}^3$ . (En cualquier espacio topológico $X$ , $X$ es un conjunto cerrado. El único conjunto $Y$ con $\text{cl}(Y) = \emptyset$ es $Y = \emptyset$ .)

Así que $\text{bd}(A) = A\cap \mathbb{R}^3 = A$ .