En $\mathbb{R}^n$, que por supuesto tienen la costumbre Lebesgue meausre. En muchas maneras, separables, infinito dimesional-espacio de Hilbert es el más natural de la generalización de $\mathbb{R}^n$ a infinitas dimensiones, de modo que es natural preguntar, ¿existe un Lebesgue-como medida separables, de infinitas dimensiones espacio de Hilbert? Por el bien de lo concreto, es que hay una natural, Lebesgue medida en $\ell ^2$? (Para este propósito de esta pregunta, no creo que se debe hacer una diferencia si estamos trabajando sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$.)
Respuestas
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Como queda claro, usted está buscando para la traducción-invariante medidas de Borel. Aquí son dos: el cero de la medida, de contar y medir. Obviamente esos no van a satisfacer a usted, pero realmente no se puede hacer mejor.
Teorema. Una traducción invariante en la medida de Borel en un infinito-dimensional de Banach separable espacio es el cero de la medida, o asigna infinito medida para cada conjunto abierto.
Usted puede encontrar una prueba en la Wikipedia, o en el Teorema 1.1 de estas notas que escribí.
Gogi Pantsulaia
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Los hechos siguientes son válidas:
Hecho 1. Existe una sigma-finito medida de Borel en $\ell_2$ que es invariante bajo el grupo de todos, eventualmente cero secuencias y toma el valor de $1$ en el cubo de Hilbert $\prod_{k \in N}[0,\frac{1}{k}]$.
La prueba de Hecho 1 se puede encontrar en [Kharazishvili A. B., De medidas invariantes en el espacio de Hilbert.Bull. Acad. Sci.La RSS de georgia, 114(1) (1984),41--48 (en ruso)].
Hecho 2. Existe una traducción invariante en la medida de Borel $\mu$ $\ell_2$ que toma el valor de $1$ en el cubo de Hilbert $\prod_{k \in N}[0,\frac{1}{k}]$.
La prueba de los Hechos 2 puede obtenerse por Baker medida $\lambda$ [Baker, R., `la medida de Lebesgue" en la $\mathbb{R}^{ \infty}$. II. \textit{Proc. Amer. De matemáticas. Soc.} vol. 132, no. 9, 2003, pp 2577--2591] de la siguiente manera:
Deje $T:\ell_2 \to \mathbb{R}^{ \infty}$ ser definido por $T((x_k)_{k \in N})=(k x_k)_{k \in N}$$(x_k)_{k \in N} \in \ell_2$. Para cada subconjunto de Borel $X \subseteq \ell_2$ establecer $\mu(X)=\lambda(T(X))$. A continuación, $\mu$ satisface todas las condiciones de la Realidad, 2.
Matthew Scouten
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Algunos autores locales compacidad del espacio para ser parte de la definición de la medida de Borel, por lo que deja fuera infinito-dimensional de Hilbert espacios de inmediato. Creo que el Mackey-Weil resultado está hablando de $\sigma$-finito medidas. Si no requiere que usted podría considerar la posibilidad de $r$-dimensiones de Hausdorff medida para cualquier real no negativo $r$. Estos son la traducción-invariante medidas, y todos los conjuntos de Borel medibles.
Gogi Pantsulaia
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A continuación les presento una nueva construcción de la traducción-invariante medidas en un separable espacio de Banach $B$ con la base de Schauder $(e_k)_{k \in N}$. Decimos que una medida de Borel $\mu$ $B$ es generador de tímido conjuntos(equivalentemente, Haar null conjuntos) si la condición de $\mu(X)=0$ implica que el $X$ es tímido(lo que es equivalente, Haar null).
Definición 1. Universal medibles set $S$ en un separable espacio de Banach $B$ se $n$-dimensional Preiss-Ti$\check{s}$er null establecer si cada medida de Lebesgue $\mu$ concentrados en una $n$-dimensional espacio vectorial $\Gamma$ es de forma transversal a $S$.
Se denota la clase de todos los n-dimensional Preiss-Ti$\check{s}$er null establece en $B$ $$\mathcal{P~T~N}(B, n).$$
Deje $(\Gamma_i)_{i \in I}$ ser una familia de todas las $n$-dimensional espacios vectoriales y deje $\mu_i$ $n$- dimensiones de Lebesgue la medida se concentró en $\Gamma_i$ $i \in I.$
Deje $\Gamma_i^{\perp}$ ser un complemento lineal de los vectores en el espacio $\Gamma_i$ $i \in I$ . Ponemos $$ (\forall X)(X \in \mathcal{B}(B) \rightarrow G_{P~\&~T}^{(n)}(X)=\sum_{i \in I }\sum_{g \en \Gamma_i^{\asesino}}\mu_i(X-g \cap \Gamma_i)). $$
Teorema 1. Un funcional $G_{P~\&~T}^{(n)}$ es un traducción-invariante cuasi-finito generador de tímido pone en $B$ tal que $$\mathcal{P~T~N}(B, n)=\mathcal{N}(\overline{G_{P~\&~T}^{(n)}}).$$
Comentario 1. La prueba del Teorema 1 se puede encontrar en [G. Pantsulaia , En los generadores de tímido establece en polaco topológicos, espacios vectoriales, de Nueva York, J. Matemáticas.,14 ( 2008) , 235 – 261].
