Los productos de la Copa y el mapa de transferencias

Question

Sea $G_1$ sea un subgrupo de índice finito de $G_2$ . Sea $i : H^{\ast}(G_2) \rightarrow H^{\ast}(G_1)$ sea el mapa inducido de anillos. Existe entonces un homomorfismo de transferencia $\tau : H^{\ast}(G_1) \rightarrow H^{\ast}(G_2)$ cuya propiedad clave es que $\tau(i(x)) = [G_2:G_1] \cdot x$ para todos $x \in H^{\ast}(G_2)$ . Tengo dos preguntas.

1. Si $\tau$ ¿un mapa de anillos? En otras palabras, si $x,y \in H^{\ast}(G_1)$ entonces debemos tener $\tau(x \cup y) = \tau(x) \cup \tau(y)$ ? Creo que la respuesta es "no".

2. Suponiendo que la respuesta a la primera pregunta sea "no", ¿existen ejemplos explícitos de grupos $G_1$ y $G_2$ como arriba y elementos $x_1,\ldots,x_k \in H^1(G_1)$ tal que $\tau(x_i)=0$ para todos $i$ pero $\tau(x_1 \cup \cdots \cup x_k) \neq 0$ ?

Answer 1

Lo cierto es que $\tau$ es un mapa de módulos Eso es, $$\tau(i^*(x)\cup y) = x\cup \tau(y)$$ para $x\in H^*(G_2)$ y $y\in H^*(G_1)$ .

En particular, el núcleo de $\tau$ es un sub- $i^*(H^*(G_2))$ -módulo de $H^*(G_1)$ .

Por ejemplo $G_1=C_p$ (grupo cíclico) y $G_2=\Sigma_p$ (grupo simétrico), donde $p$ es un primo impar. El generador $x\in H^2(C_p)$ satisface $\tau(x)=0$ (ya que $H^2(\Sigma_p)=0$ ), pero $\tau(x^{p-1})\neq 0$ .

Añadido. Como señala Neil, estoy utilizando la cohomología con mod $p$ coeficientes aquí.

Answer 2

Desde $i$ es un mapa de anillos, si $\tau$ fuera un mapa de anillos, entonces $\tau\circ i$ también sería un mapa de anillos. Pero estos últimos mapas $1\in H^0(G_2)$ a $[G_2:G_1]$ que, en general, no es $1$ .