Squarefree parte de $n!$

Question

Para cualquier número entero positivo $n$ escribe $n!=a_nb_n^2$ donde $a_n$ es libre de cuadrados. ¿Existe una constante $c$ tal que para cualquier $\epsilon>0$ existe $N$ tal que $c^{(1-\epsilon)n}<a_n<c^{(1+\epsilon)n}$ para todos $n>N$ ?

En Aproximación de Stirling sabemos que $n!$ es del orden de $\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$ . El producto de todos los primos menores que $n$ es aproximadamente $e^n$ como muestra Erdos . El producto que estamos considerando sólo puede ser inferior a eso.

Answer 1

Nota: la pregunta indicaba en primer lugar $2^n$ como estimación, lo cual es correcto. Editado desde.

ORIGINAL: No es una mala suposición. Tengo, con la primera función de Chebyshev $\theta(x),$ el registro de su número como $$ \theta(n) - \theta \left( \frac{n}{2} \right) +\theta \left( \frac{n}{3} \right) -\theta \left( \frac{n}{4} \right) +\theta \left( \frac{n}{5} \right) -\theta \left( \frac{n}{6} \right) \cdots $$ donde la serie alterna $1 - \frac{1}{2} +$ tiene límite $\log 2.$

El ingrediente principal es el teorema de Legendre sobre la potencia de un primo que divide a un factorial. Mucho más trabajo para establecer límites explícitos, si es cierto.

Tenga en cuenta que oeis está de acuerdo https://oeis.org/A055204 pero sin pruebas ni estimaciones de error.