¿Dos functores de Grp a Grp?

Question

Han pasado muchos años desde que leí por primera vez Categorías para el matemático en activo, pero todavía tengo una pregunta sobre uno de los primeros ejercicios. La pregunta 5 de la sección 1.3 te pide que encuentres dos functores diferentes $\mathsf{T}: \mathsf{Groups} \to \mathsf{Groups}$ con función de objeto $\mathsf{T}(\mathsf{G}) = \mathsf{G}$ para cada grupo $\mathsf{G}$ . He jugado con esto durante mucho tiempo, y ninguna de las opciones obvias acaba funcionando. Ha sido un error de Mac Lane o me estoy perdiendo algo muy obvio?

Si resulta que no hay opciones "obvias", ¿alguien tiene una idea de cómo demostrar que las hay? no dos functores de este tipo?

Answer 1

Se trata de un " malvado ", pregunta que merece una respuesta malvada. Elige tu pareja favorita de un objeto G ₀ de Grupos y un automorfismo no trivial φ de G ₀ . Definir el functor T : Grupos → Grupos por T(G) = G, T(f) = [φ ∘] f [∘ φ -1 ] donde componemos con φ si el objetivo de f es G ₀ y componer con φ -1 si el dominio de f es G ₀ . Este T es claramente diferente del funtor de identidad (actúa por φ sobre Hom(Z, G ₀ ) = el conjunto subyacente de G ₀ ).

Sin embargo, esta respuesta no es muy satisfactoria porque T es naturalmente isomorfo a la identidad. No sé si se puede encontrar un ejemplo en el que T no sea naturalmente isomorfo a la identidad.

Answer 2

Ya que ha vuelto a surgir esta pregunta, podría hacer un esbozo de hasta dónde he llegado. El morfismo trivial puede ser reconocido porque factoriza a través del grupo trivial, por lo que el morfismo trivial debe ser enviado a sí mismo. De esto deducimos que las inclusiones y proyecciones obvias entre $G$ , $H$ y $G \times H$ se envían a sí mismos hasta el tipo de isomorfismos malignos discutidos en la respuesta de Reid. Para cualquier grupo $F$ con mapas $F \to G$ y $F \to H$ el mapa de productos $F \to G \times H$ se envía al mapa producto, de nuevo, hasta isomorfismos malignos. En particular, la incrustación diagonal $G \to G \times G$ se envía a la diagonal hasta isomorfismos.

Si $G$ es abeliano, entonces $\mu: (g_1, g_2) \mapsto g_1 g_2$ es un mapa $G \times G \to G$ y analizando la composición de $\mu$ con las incrustaciones de coordenadas $G \to G \times G$ muestra que $\mu$ va a $\mu$ (hasta isomorfismo). Componiendo diagonales y $\mu$ se deduce que $g \mapsto g^n$ va a sí mismo (hasta isomorfismo) para cualquier abeliano $G$ y enteros $n$ . Utilizando la clasificación de grupos abelianos finitamente generados, se deduce que todos los mapas de grupos abelianos finitamente generados van a sí mismos (hasta isomorfismo).

Creo que fui capaz de argumentar que el functor misterioso debe conmutar con la función de abelianización hasta isomorfismo natural, pero ya no tengo notas de esto. Mi plan para llegar más allá de esto era perseguir el isomorfismo en la serie derivada, argumentar es particular todo debe ser bueno para los mapas de grupos libres como la intersección de los subgrupos derivados es trivial allí, y luego de alguna manera utilizar que todo es un cociente de un grupo libre de ganar. Pero me quedé atascado alrededor de este punto.

Esta pregunta es muy parecida a ésta math.SE pregunta : ¿Existe una función $\mathcal{P}$ de espacios topológicos conectados a grupos tales que $\mathcal{P}(X) \cong \pi_1(X)$ ? Se puede demostrar que tal functor no puede restringir a $\pi_1$ sobre espacios apuntados, que es probablemente lo que el OP quería preguntar, pero parece difícil descartar que exista algún functor.