¿Existe un lema infinito × infinito para las categorías abelianas?

Question

Mucha gente sabe que existe un (3×3) nueve lemas en teoría de categorías. Aparentemente también existe un lema dieciséis, como el utilizado en un artículo en arXiv (véase la página 24). Podría haber un lema veinticinco, ya que se menciona satíricamente en la página de Wikipedia nueve lemas.

¿Son ciertos los lemas 4×4 y 5×5? ¿Existe un lema n×n? En términos más generales, si tengo un diagrama conmutativo infinito × infinito con todas las columnas y todas las filas menos una exactas, ¿lo es también la última fila? Para todos ellos, si son verdaderos, ¿cuáles son sus enunciados exactos, y si son falsos, cuáles son los contraejemplos?

Nota : Hay algunas posibilidades para lo que significa infinito × infinito -- por ejemplo, podría ser Z × Z indexado o N × N indexado. Además, en el N × N caso, existen algunas posibilidades sobre hacia dónde apuntan las flechas y qué fila se concluye que es exacta.

Answer 1

Para un $n \times n$ cuadrado, el "lema" se deduce aplicando la secuencia espectral de un complejo doble de dos maneras diferentes: si primero tomamos la homología a lo largo de las columnas, entonces el $E^2$ página es $0$ mientras que si primero tomamos la homología a lo largo de las filas, entonces la $E^2$ página es $0$ fuera de la fila en cuestión, y no hay más diferenciales posibles. Dado que ambas secuencias espectrales convergen a la homología del complejo total, la fila desconocida también debe ser exacta.

Para $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ complejos dobles indexados, podría haber problemas de convergencia para las secuencias espectrales; no estoy seguro.

Answer 2

Sí, hay un $n\times n$ e incluso un $\mathbb N\times\mathbb N$ lema. El argumento de la secuencia espectral que da Reid funciona. Otra demostración elemental utiliza el lema de la salamandra, un resultado de George Bergman que I blogueado en SBS . Es exactamente igual que la prueba del $3\times 3$ lema que escribí allí.

He aquí un contraejemplo a la $\mathbb Z\times\mathbb Z$ lema. Si lees sobre el lema de la salamandra, entenderás cómo se me ocurrió. Todos los mapas distintos de cero son la identidad

$$\require{AMScd} \begin{CD} 0 @>>> 0 @>>> 0 @>>> 0 @>>> 0\\ @. @VVV @VVV @VVV @VVV\\ 0 @>>> 0 @>>> 0 @>>> \mathbb{Z} @>>> 0\\ @. @VVV @VVV @VVV @VVV\\ 0 @>>> 0 @>>> \mathbb{Z} @>>> \mathbb{Z} @>>> 0 \\ @. @VVV @VVV @VVV @VVV\\ 0 @>>> \mathbb{Z} @>>> \mathbb{Z} @>>> 0 @>>> 0 \end{CD} $$

Ampliar el diagrama mediante copias de $\mathbb Z$ hacia abajo y a la izquierda, y poner $0$ en todas partes. Todas las columnas son exactas, y todas las filas excepto una (la que tiene un único $\mathbb Z$ en él) son exactas.