¿Cómo se resuelve la ecuación de Schrödinger para barreras de potencial curvo variables en el tiempo?

Question

Cómo se resolvería la ecuación de Schrödinger para barreras curvas que cambian en función del tiempo, por ejemplo, una barrera potencial paraboloide con altura máxima, $V$ cambiando con el tiempo en una barrera de potencial hiperboloide (con la misma altura constante, $V$ en su punto de ensilladura), que además se transforma en una barrera elipsoidal. ¿Cuáles serían las herramientas matemáticas necesarias para el análisis? ¿Se encuentran estos sistemas en la práctica?

Formulación matemática:

Consideremos una ecuación de Schrödinger n-dimensional de la forma: $$\left[\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial^{n}}{\partial{x_{k}^{2}}}-V(x,t)\right]\psi(x,\alpha)=\lambda(\alpha)\psi(x,\alpha)$$ donde el potencial $V(x,t)$ depende del vector columna $x$ perteneciente al espacio complejo n-dimensional $C^{n}$

Ahora dejemos que el potencial elíptico sea: el potencial Lamé de 2 huecos $$V_{e}(x,t)=2\wp(x-x_{1}(t))+2\wp(x-x_{2}(t))+2\wp(x-x_{3}(t))$$

Ahora este potencial varía con el tiempo y se transforma en un potencial hiperbólico de la forma: $$V_{h}(x,t)=aV_{0}coth(\alpha x)+bV_{1}coth^{2}(\alpha x)-cV_{2}cosech(\alpha x)+d-cos(\alpha t)$$ donde $a,b,c,d$ y $V_{0},V_{1},V_{2}$ son constantes. He aquí una imagen de la gráfica del potencial de sólo variables independientes del tiempo:

¿Cómo resolvería un sistema de potencial variable en el tiempo?

Answer 1

Pareces tener una idea muy clara sobre la forma del potencial, pero por otro lado preguntas: ¿Existen estos sistemas en la práctica?

Para un potencial general dependiente del tiempo no resolverás la ecuación de Schrödinger analíticamente.

Probablemente puedas encontrar soluciones aproximadas si:

1. el potencial cambia muy lentamente (aproximación adiabática) o muy rápidamente

o

2. si las dimensiones típicas del potencial son mucho menores o mucho mayores que la longitud de onda.

Answer 2

Puede que tengas que simular esta situación y tengas que conformarte con una respuesta numérica. Esto implicaría almacenar la función de onda y una función para su primera derivada.

En cada paso de tiempo se calcula una función y su derivada temporal.

$\frac{\partial \psi}{\partial t}={\frac{\partial \psi}{\partial t}}_0+\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} \delta t$

$\psi=\psi_0+\frac{\partial \psi}{\partial t} \delta t$

Dónde $\delta t$ es su paso de tiempo.

A continuación, se obtiene el siguiente valor para $\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}$ de la Ecuación de Schrödinger.

Y luego repites.

Answer 3

La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para una sola partícula con potencial dependiente del tiempo $U(r,t)$ es:

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(r,t)=\Big[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U(r,t)\Big]\Psi(r,t)\tag{1}$$

Si sustituimos $U(r,t)$ con un potencial independiente del tiempo $U(r)$ , obtenemos:

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(r,t)=\Big[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U(r)\Big]\Psi(r,t)\tag{2}$$

$(2)$ se puede separar en dos ODEs, si suponemos:

$$\Psi(r,t)=\psi(r)T(t)$$

Sustituyendo en $(2)$ obtenemos dos ODEs:

$$i\hbar\frac{T'(t)}{T(t)}=E\tag{3}$$ $$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(r)}{dr^2}+U(r)\psi(r)=E\psi(r)\tag{4}$$

Dónde $E$ es la energía total de la partícula.

$(4)$ es, por supuesto, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo y $(3)$ es la EDO de evolución temporal de la función de onda.

Este método de separación de variables sólo funciona para un potencial independiente del tiempo $U(r)$ . No funciona para un $U(r,t)$ potencial.

Cómo se resolvería la ecuación de Schrödinger para barreras curvas que cambian en función del tiempo

Por ello, los métodos habituales de cálculo de la función de onda $\Psi(r,t)$ no funcionan realmente con un potencial dependiente del tiempo y encontrarás muchos menos ejemplos de tales derivaciones en la mayoría de los libros de texto.