Los subgrupos de grupos abelianos libres son libres: ¿una prueba topológica?

Question

Existe una conocida prueba topológica del hecho de que los subgrupos de grupos libres son libres. Muchas personas, entre las que me incluyo, piensan que es más fácil y natural que las pruebas puramente algebraicas que habían dado anteriormente (IIRC) Nielsen y Schreier. Es como sigue:

1. Si $S$ es un conjunto cualquiera, entonces el complejo CW $X$ obtenida como la cuña de $|S|$ es un grafo cuyo grupo fundamental es isomorfo a $F(S)$ el grupo libre en $S$ .

2. Si $H$ es un subgrupo de $F(S)$ entonces por la teoría del espacio de cobertura $H$ es el grupo fundamental de un espacio de cobertura $Y$ de $X$ .

3. El espacio de cobertura de cualquier grafo es de nuevo un grafo.

4. Cualquier grafo tiene el tipo homotópico de una cuña de círculos, por lo que el grupo fundamental de $Y$ vuelve a ser gratuita.

Mi pregunta es: ¿hasta qué punto existe una prueba análoga del resultado con "libre" sustituido en todas partes por "abeliano libre"?

En el caso de un grupo abeliano libre finitamente generado -- digamos $G \cong \mathbb{Z}^n$ -- hay al menos una evidente topológica interpretación . En concreto, podemos tomar $X$ ser el $n$ -toro (producto de $n$ copias de $S^1$ ), y luego observar que cualquier espacio de cobertura de un toroide es homeomorfo a un toroide de dimensión $d$ atraviesan un espacio euclidiano de dimensión $n-d$ por lo que es homotópicamente equivalente a un toro de rango $d <= n$ .

Pero incluso en este caso me gustaría tener la seguridad de que la demostración de este hecho topológico no utiliza el hecho algebraico que estamos intentando demostrar. (¿Es relevante aquí, por ejemplo, algo de teoría básica de Lie?)

Entonces, ¿qué ocurre si el grupo libre tiene un rango arbitrario? ¿Podemos tomar $X$ sea un límite directo sobre una familia de toros de dimensión finita? ¿Se cumple la prueba?

Answer 1

La prueba del "grupo libre" se basa en demostrar que el grupo fundamental de un grafo es libre. Para el análogo tendríamos que demostrar esencialmente que el grupo fundamental de un "toroide" (algo que parece un cociente de un espacio vectorial por un subgrupo discreto) es abeliano libre. Un esbozo:

Dado un espacio vectorial real V, podemos ponerle la topología del límite directo (de modo que los subconjuntos son cerrados si y sólo si su intersección con cualquier subespacio de dimensión finita es cerrada). Se trata de un grupo topológico contractible.

Si A es un grupo abeliano libre, entonces A es un subgrupo discreto del espacio vectorial real asociado (ℝ ⊗ A) y el espacio cociente tiene grupo fundamental A. Cualquier espacio de cobertura es un cociente de (ℝ ⊗ A) por un subgrupo discreto B de A.

Así que la cuestión se reduce a mostrar: Cualquier subgrupo discreto de un espacio vectorial (con la topología del límite directo) es abeliano libre.

Digamos que una base parcial es un conjunto S de elementos de B tal que

• S es linealmente independiente, y
• S genera B ∩ Span(S).

Entonces las bases parciales son un orden parcial bajo contención, y el lema de Zorn implica que existe un elemento maximal S. Afirmo que S es una base de B como grupo abeliano libre.

S es linealmente independiente por construcción, por lo que genera un grupo abeliano libre, y por lo tanto basta con demostrar que genera todo B. Si b en B no está en S, entonces no está en Span(S). Sea S' (S ∪ {b}). Entonces Span(S')/Span(S) es un espacio vectorial unidimensional y la imagen de B ∩ Span(S') debe ser discreta, porque si no Span(S') contendría un elemento (rb + v) para v en Span(S) que podríamos usar para generar un subconjunto no discreto de B. (Si v es una combinación de w ₁ ...w _n en S, entonces basta comprobar que cualquier subgrupo del espacio de dimensión finita Span(w ₁ ...w _n b) requerir más de n generadores es indiscreto).

Así, cualquier elevación de un generador de B ∩ Span(S') se extendería a un conjunto generador mayor, contradiciendo la maximalidad.

(Mis disculpas por el comentario de anoche, que esta mañana parece más sarcástico de lo que pretendía. A mí también me gusta usar este razonamiento topológico para los grupos libres, porque compartimenta la demostración en partes mucho más comprensibles. En particular, creo que no entendería una prueba puramente algebraica de que un subgrupo de índice n de un grupo libre sobre m generadores es libre sobre nm - n + 1 generadores).

Answer 2

Un punto obvio, pero espero que valga la pena. La prueba del grupo libre se basa en el hecho de que los grafos pueden caracterizarse localmente. Como los tori no se pueden caracterizar localmente por su topología, no hay esperanza de una prueba verdaderamente análoga para los grupos abelianos libres utilizando tori.

Answer 3

Para una prueba puramente topológica de la afirmación "Todo subgrupo de un grupo abeliano libre es abeliano libre", ¿por qué no seguir utilizando una cuña de círculos, pero utilizando la primera homología simplicial y el teorema de Hurewicz? Si por "abeliano libre" se entiende "un límite directo de finte rango abeliano libre", parece deducirse de la afirmación sobre los grupos libres.