¿Cómo obtengo la segunda solución de la Power Series Solution?

Question

Tengo el DE indicado: \begin{equation} y''-y'=0 \end{equation} Las soluciones son las siguientes: \begin{equation} y(x)= c_0e^x+c_1\end{equation} Tengo que resolver el problema utilizando el método de series de potencias por lo que tengo la representación en serie de potencias dada de la DE: \begin{equation}\sum_{n=2}^\infty n(n-1)c_nx^{n-2}-\sum_{n=1}^\infty nc_nx^{n-1}=0 \end{equation} A continuación, establezco los mismos índices y obtengo lo siguiente: \begin{equation}\sum_{k=1}^\infty (k+1)(k)c_{k+1}x^{k-1}-\sum_{k=1}^\infty kc_kx^{k-1}=0\end{equation} Luego combiné las dos sumas en una: \begin{equation}\sum_{k=0}^\infty[(k+1)(k)c_{k+1}-kc_k]x^{k-1}=0\end{equation} Luego pongo la parte interior de la suma igual a 0. \begin{equation}(k)(k+1)c_{k+1}-kc_{k}=0 \end{equation} Entonces obtengo la siguiente ecuación: \begin{equation}c_{k+1}=\frac{c_k}{k+1} \end{equation} El valor más pequeño que se puede introducir es 0, entonces obtenemos lo siguiente: $c_1=\frac{c_0}{1}$ Luego al seguir conectando me sale lo siguiente: $y=c_0+c_0(x)+c_0\frac{x^2}{2!}+c_0\frac{x^3}{3!}....$

Entonces me sale $y=c_0e^x$ pero me falta una solución ¿alguna idea?

Answer 1

$$\begin{equation}\sum_{n=2}^\infty n(n-1)c_nx^{n-2}-\sum_{n=1}^\infty nc_nx^{n-1}=0 \end{equation}$$ Cambia todos los índices: $$\begin{equation}\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)c_{n+2}x^{n}-\sum_{n=0}^\infty (n+1)c_{n+1}x^{n}=0 \end{equation}$$ $$\begin{equation}\sum_{n=0}^\infty ((n+2)(n+1)c_{n+2}-(n+1)c_{n+1})x^{n}=0 \end{equation}$$ Por lo tanto : $$(n+2)c_{n+2}=c_{n+1} \text { for } n \ge 0$$ $$\implies c_n=\dfrac {c_1}{n!} \text { for } n \ge 1$$ La solución es : $$y(x)=\sum_{n=0}^\infty c_nx^n$$ $$y(x)=c_0+\sum_{n=1}^\infty c_nx^n=c_0+\sum_{n=1}^\infty \dfrac {c_1}{n!}x^n$$ $$y(x)=c_0-c_1+\sum_{\color{red}{n=0}}^\infty \dfrac {c_1}{n!}x^n =\underbrace {c_0-c_1}_{\text {=constant } C}+c_1e^x $$ $$\boxed {y(x)=C+C_1e^x}$$ La segunda solución es simplemente una constante.