¿Por qué Littlewood-Richardson coeficientes de describir la cohomology de la Grassmannian?

Question

Estoy buscando un "conceptual" de la explicación a la pregunta del título. El estándar de pruebas que yo he visto ir de la siguiente manera: utilice el Schubert de la célula de descomposición para obtener una base para cohomology y muestran que el especial de Schubert clases de satisfacer Pieri la fórmula. A continuación, utilice el hecho de que la básica homogénea simétrica funciones $h_n$ son algebraicamente independientes generadores de el anillo de los simétrica funciones, para obtener un surjective homomorphism desde el anillo de simétrica funciones a la cohomology anillo. Pieri la regla puede ser demostrado con algunos cálculos, pero no hay ninguna razón a priori para creer que el producto tensor de multiplicidades para el grupo lineal general debería tener nada que ver con la Grassmannian?

Tal vez una forma más específica de la pregunta: es posible demostrar que estos coeficientes son los mismos sin necesidad de calcular previamente?

Una de las motivaciones para pedir es que el cohomology anillo del tipo B y tipo C Grassmannians ${\bf OGr}(n,2n+1)$ y ${\bf IGr}(n,2n)$ son descritos por (modificado) Schur P y Q funciones que parecen no tener nada(?) que ver con la teoría de la representación de la ortogonales y simpléctica grupos ${\bf ASÍ}(2n+1)$ y ${\bf Sp}(2n)$. Así como lo que puedo decir que la respuesta no es sólo porque lineal general de los grupos y Grassmannians son de "tipo a" de los objetos.

Answer 1

Hay varios anillos-con-bases para llegar directamente aquí. Voy a explicar que, a continuación, se describen tres graves conexiones (no sólo de Ehresmann de la prueba como se relata en el OP).

El mal es de $Rep(GL_d)$, cuya base es indexado por la disminución de las secuencias en ${\mathbb Z}^d$.

Que tiene un sub-anillo de $Rep(M_d)$, representaciones de la Mentira monoid de todos los $d\veces d$ matrices, cuya base es indexado por la disminución de las secuencias en ${\mathbb N}^d$ o particiones con un máximo de $d$ filas.

Que es un cociente de $Rep({\bf Vec})$, el anillo de Grothendieck algebraicas endofunctors de ${\bf Vec}$, cuya base (que viene de Schur functors) es indexado por todas las particiones. Obviamente cualquier functor se limitará a un representante de $M_d$ (no sólo de $GL_d$); lo sorprendente es que las irreps restringir $0$ (si es que tiene demasiadas filas) o de nuevo a irreps!

1. Harry Tamvakis' prueba es definir un natural anillo de homomorphism $Rep({\bf Vec}) \H^*(Gr(d,\infty))$, la aplicación de un functor a la tautológica vector paquete, a continuación, haciendo un Chern-Weil truco para obtener un cohomology de la clase. (No es sólo el de Euler de la clase de la que resulta de enorme vector paquete.) El Chern-teorema de Weil es esencialmente la declaración de que Harry mapa se alternancia de poderes especiales Schubert clases. Así que, a continuación, debe hacer lo correcto, pero al saber que él esencialmente repite la prueba de Ehresmann.

2. Kostant estudió $H^* (G/P)$ en general, en el "álgebra de la Mentira y cohomology algo Schubert de las células" (lo siento!), pasando a la compacta imagen $H^* (K/L)$, luego de de Rham cohomology, luego de tomar $K$-invariante formas, lo que significa $L$-formas invariantes en el espacio de la tangente $Lie(K)/Mentira(L)$. Entonces él complexifies que el espacio para $Lie(G)/Mentira(L_C)$, e identifica que con $n_+ \oplus n_-$, donde $n_+$ es el nilpotent radical de $Lie(P)$. Por lo tanto, las formas en que el espacio es de $Alt^* (n_+) \otimes Alt^* (n_-)$.

Ahora, hay dos cosas por hacer para relacionar este espacio para $H^* (G/P)$. Uno es tomar cohomology de este complejo (que es duro, pero él se describe el diferencial), y el otro es tomar $L$-invariantes, como dije. Por suerte los desplazamientos. Kostant degenera el diferencial para hacer sentido en cada factor por separado (en el costo de la no muy recibiendo $H^* (G/P)$).

Teorema: (1) una Vez que usted toma cohomology, $Alt^* (n_+)$ es una multiplicidad libre de $L$-representación. Así que cuando usted tensor con su doble y tomar $L$-invariantes, se obtiene una base canónica por Schur del lexema. (2) Esta base es la degeneración de la de Schubert.

Teorema: (1) Si $P$ es (co?)minúsculo, el diferencial es cero, de modo que usted puede saltar el cohomology paso. Es decir, $Alt^* (n_+)$ es ya una multiplicidad libre de $L$-rep. El Schur del lexema base de la estructura de las constantes que vienen de la teoría de la representación. (2) En el Grassmannian caso, la degeneración en realidad no afectan a la respuesta, de modo que el producto de Schubert clases en efecto, vienen de la teoría de la representación.

Creo que el degenerado producto en $H^*(G/P)$ es exactamente la descrita por [Belkale-Kumar].

Es divertido ver lo que está pasando en el Grassmannian caso -- $L = U(d) \times U(n-d)$, $n_+ = M_{d,n-d}$ y $Alt^* (n_+)$ contiene cada una de las particiones (o más bien, la $U(d)$-irrep corresponging) encajando dentro de ese rectángulo tensor de su transpuesta (o más bien, la $U(n-d)$-irrep).

Creo que esta va a ser la más cercana a lo que usted desea, para otros grupos Grassmannians.

1. (No, 3. Tonto de software de sitio!) Belkale tiene el mejor (menos decategorified) prueba que he visto. Él lleva tres ciclos de Schubert reunión transversalmente, y para cada punto de intersección, se construye un real invariante vectorial dentro de la correspondiente triple producto de las representaciones. El conjunto de vectores es una base.

Answer 2

Esto es un poco off-topic (no tengo mucho que añadir a la respuesta de David), pero permítanme mencionar que el fenómeno de tipo Mentira teórico de los objetos coincidiendo con otra Mentira teórico también los objetos de tipo a, pero para un rango diferente de una manera que simplemente no parece funcionar para otros grupos es sorprendentemente común. No estoy seguro de que hay un alto concepto de explicación para ello, aparte de que GL_n es realmente importante objeto.

Este negocio con Grassmannians y clasificación de los espacios puede ser el ejemplo más conocido, pero esto sólo sucede una y otra vez. Schur-Weyl dualidad y Howe dualidad son grandes ejemplos, aunque creo que mi favorito, puede ser que escriba Un rodajas de entre nilpotent órbitas son el mismo tipo de Un carcaj variedades son las mismas que escriba Un rodajas de entre $\mathrm{Gr}_\lambda$'s en el afín Grassmannian. Estas variedades aparentemente tienen poco o nada que ver el uno con el otro en los otros tipos, pero de alguna manera por arte de magia coinciden en el tipo A.

Otro ejemplo que me gusta mucho es que todas las categorías de representación de los grupos cuánticos se trenzan con el tipo de trenza grupo.

Answer 3

La más fácil es ver que $\lim_{\infty \leftarrow n} H^*(G(d,n))$ es muy cercano a los $\mathrm{Rep}(GL_d)$ como anillos. (Como Allen señala a continuación, no queremos que todas las representaciones de $GL_d$, sólo el polinomio. Voy a seguir glosa sobre ese punto, pero es otra señal de que la respuesta tiene que ser algo complejo.)

La representación anillo de $GL_d$ es el mismo que el de $GL_d$-equivariant $K$-teoría de un punto. Deje que $\mathrm{Mat}_{d \times n}^{\circ}$ a la totalidad del rango de $d \times n$-matrices. No voy a definir este rigurosamente, pero el ind-esquema de $\lim_{n \to \infty} \mathrm{Mat}_{d \times n}^{\circ}$ es "contráctiles", por lo que el $GL_d$-equivariant $K$-teoría de un punto es de $K^0(\lim_{n \to \infty} \mathrm{Mat}_{d \times n}^{\circ} / GL_d)$. Uno puede justificar convertir este en $\lim_{n \leftarrow \infty} K^0( \mathrm{Mat}_{d \times n}^{\circ} / GL_d)$. Por supuesto, $\mathrm{Mat}_{d \times n}^{\circ} / GL_d = G(d,n)$.`

El Chern mapa de caracteres es un isomorfismo entre envía $K^0(G(d,n))$ a la finalización de la $H^*(G(d,n))$, al menos, una vez que el tensor con $\mathbb{Q}$. (Que la conclusión está relacionada con la cuestión de si trabajamos con el polinomio de representaciones o todas las representaciones).

Lo difícil es explicar por qué no debe ser un isomorfismo que se lleva a irreps a ciclos de Schubert, y las obras de más de $\mathbb{Z}$. Esto es especialmente difícil porque Chern carácter no que isomorfismo. No sé realmente de respuesta corta a esta pregunta, pero Harry Tamvakis tiene un expositiva de papel que hace un trabajo bastante bueno.

Answer 4

Este es sin duda uno de los más desconcertantes preguntas de todos los tiempos! Realmente no hay una respuesta sencilla, aunque estoy de acuerdo en que Allen ha presentado algunos razonable.

En su papel de Schubert cálculo y representación de grupo lineal general Muhina-Tarasov-Varchenko dar otra respuesta. Construir cualquier álgebra de $ \mathcal{B} $ se llama la Bethe álgebra, la cual actúa sobre un producto tensor de la multiplicidad de espacio $ Hom(V_\lambda, V_{\lambda_1} \otimes \cdots \otimes V_{\lambda_m}) $, dependiendo de los parámetros de $ b_1, \dots, b_n$. Ellos nos demuestran que la imagen $ Una $ de la Bethe álgebra actuando en este espacio vectorial tiene la misma dimensión de este espacio vectorial (genéricos $ b_i $ usted obtener todas las diagonales de las matrices con respecto a alguna base). Luego de probar esta álgebra $ A $ es isomorfo a las funciones de un esquema-theorectic intersección de $n+1 $ Schubert variedades correspondientes a los $ \lambda_i$, con respecto a las banderas dadas por el $ b_1, \dots, b_n $.

Answer 5

Hay alguna información adicional en la página 399 de la Combinatoria Enumerativa, vol. 2. El primer conceptual explicaciones son debido a Horrocks en 1957 y Carrell en 1978. Ver también las páginas 278-279 de Fulton de la Intersección de la Teoría.