¿Hay alguna prueba de que no existe un límite inferior para la función totiente?

Question

Leo aquí que no hay límite inferior para la función totient. ¿Hay alguna prueba de ello?

Answer 1

Si se lee con atención, el artículo no dice que no haya límite inferior, sino que no hay lineal límite inferior, es decir, no hay $c$ (y $n_0$ ) tal que para todo $n\gt n_0$ , $\phi(n) \geq cn$ .

Hay una prueba relativamente sencilla de esto: considere primoriales es decir, números de la forma $n=2\cdot 3\cdot 5\cdot\ldots\cdot p_k$ . Entonces para estos $n$ , $\displaystyle\frac{\phi(n)}{n} = \prod_{i=1}^k\left(1-\frac1{p_i}\right)$ . Se puede demostrar que este producto "diverge" hacia cero como $i$ va a $\infty$ esencialmente porque la suma $\sum_i\frac{1}{p_i}$ diverge: $\ln\left(\prod(1-\frac1{p_i})\right) = \sum\ln(1-\frac1{p_i}) = \sum\left(-\frac1{p_i}+O(\frac1{p_i^2})\right)$ y como esta última suma va a $-\infty$ entonces el logaritmo debe ir a $-\infty$ del mismo modo, y así el producto va a $0$ .

La divergencia del producto a cero significa, por tanto, que para cualquier $\epsilon$ podemos encontrar $n_0$ (un primorial suficientemente grande) tal que $\frac{\phi(n_0)}{n_0}\lt\epsilon$ o, en otras palabras, que $\phi(n_0)\lt\epsilon\cdot n_0$ .