Leo aquí que no hay límite inferior para la función totient. ¿Hay alguna prueba de ello?
Respuesta
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Si se lee con atención, el artículo no dice que no haya límite inferior, sino que no hay lineal límite inferior, es decir, no hay $c$ (y $n_0$ ) tal que para todo $n\gt n_0$ , $\phi(n) \geq cn$ .
Hay una prueba relativamente sencilla de esto: considere primoriales es decir, números de la forma $n=2\cdot 3\cdot 5\cdot\ldots\cdot p_k$ . Entonces para estos $n$ , $\displaystyle\frac{\phi(n)}{n} = \prod_{i=1}^k\left(1-\frac1{p_i}\right)$ . Se puede demostrar que este producto "diverge" hacia cero como $i$ va a $\infty$ esencialmente porque la suma $\sum_i\frac{1}{p_i}$ diverge: $\ln\left(\prod(1-\frac1{p_i})\right) = \sum\ln(1-\frac1{p_i}) = \sum\left(-\frac1{p_i}+O(\frac1{p_i^2})\right)$ y como esta última suma va a $-\infty$ entonces el logaritmo debe ir a $-\infty$ del mismo modo, y así el producto va a $0$ .
La divergencia del producto a cero significa, por tanto, que para cualquier $\epsilon$ podemos encontrar $n_0$ (un primorial suficientemente grande) tal que $\frac{\phi(n_0)}{n_0}\lt\epsilon$ o, en otras palabras, que $\phi(n_0)\lt\epsilon\cdot n_0$ .
