Por qué $N$ no es función de $\varepsilon$ ?

Question

He aquí una pregunta de cálculo:

$N$ no es función de $\varepsilon$ en $\varepsilon-N$ definición.

No entiendo por qué. En mi opinión, cada vez que intentamos encontrar un $N$ que se basa en $\varepsilon$ Eso es, $N=N(\varepsilon)$ . ¿Por qué no es una función?

Gracias.

Answer 1

Le pondré un ejemplo:

Demuéstralo: $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$$

Prueba: Es fácil ver que tenemos que encontrar un $N$ para cada $n>N$ satisface $$|\frac{1}{n}-0|<\varepsilon\Rightarrow n>\frac{1}{\varepsilon}$$ Así, podemos elegir $N=[\frac{1}{\varepsilon}]+1$ aunque esta no es la ÚNICA opción, lo que significa que también puede elegir $N=[\frac{1}{\varepsilon}]+2,\ N=[\frac{1}{\varepsilon}]+3$ etc. Cada uno de ellos satisfará $\varepsilon-N$ definición.

Como usted mencionó que " $N$ se basa en $\varepsilon$ ", ¡correcto! Pero $N$ no es el ÚNICO valor, lo que significa que no es una función de $\varepsilon$ pero podemos decir que es una expresión de $\varepsilon$ .

Espero que le sirva de ayuda.

Answer 2

¿Puedo decir que no estoy completamente de acuerdo? Por no hablar de que también hay funciones multivaluadas, no hay nada realmente malo en pensar en $N$ en función de $\varepsilon$ . Por ejemplo, dado $\varepsilon>0$ siempre hay un el más pequeño $N$ como en la definición de los límites, ya que cualquier parte de $\mathbb{N}$ tiene un mínimo. Por supuesto, ésta no es la única forma de definir $N(\varepsilon)$ pero creo que esas sutilezas son realmente peligrosas en un curso de cálculo.