El conjunto de funciones diferenciables sobre variedades no es un espacio vectorial?

Question

En el libro Introducción a las variedades diferenciables de Brickell y Clark, cuando comienzan a explicar los vectores tangentes en las variedades, escriben:

Si M es una variedad diferenciable de dimensión n, el conjunto de funciones diferenciables $f:M \to \mathbb{R}$ cuyos dominios incluyen un punto dado $m \in M$ se denotará por $\mathcal{F}(m)$ . $\mathbb{R}$ -combinaciones lineales de dichas funciones $f,g$ también pertenecen a $\mathcal{F}(m)$ el dominio de $\alpha f+\beta g$ siendo la intersección de los dominios de $f$ y $g$ . $\mathcal{F}(m)$ incluye una función única $\textbf{0}$ tal que $f+\textbf{0}=f$ para todos $f \in \mathcal{F}(m)$ es decir, la función cero en M. Pero no contiene no contiene, en general, una función $-f$ para que $f+(-f)=\mathbf{0}$ . En consecuencia, este $\mathbb{R}$ -estructura lineal en $\mathcal{F}(m)$ no lo convierte en un espacio vectorial .

Cualquiera podría dar un ejemplo de tal $\mathcal{F}(m)$ que no sea un espacio vectorial? Muchas gracias.

Answer 1

$\mathcal F(m)$ consiste en todas las funciones $f : U \to \mathbb R$ que se definen en una vecindad abierta de $m$ y son diferenciables en $U$ .

Dada una función $f \in \mathcal F(m)$ que sólo se define en un subconjunto propio $U \subsetneqq M$ por supuesto, podemos formar $-f: U \to \mathbb R$ que también es miembro de $\mathcal F(m)$ . Pero la suma $\phi = f + (-f)$ sólo se define en $U$ por lo que es diferente de la función $\mathbf 0$ que se define en todos los $M$ (aunque, por supuesto $\phi(x) = 0$ para todos $x \in U$ ).

Por lo tanto no $\mathcal F(m)$ es un espacio vectorial.

Obsérvese que todas las restricciones de funciones diferenciables $f : M \to \mathbb R$ a vecindarios abiertos arbitrarios de $m$ están en $\mathcal F(m)$ . Sin embargo, en general también hay funciones en $\mathcal F(m)$ que no tienen esta forma especial.

Observación:

La notación utilizada por Brickell y Clark es desafortunada y puede inducir a confusión. En la p.53 hablan de

una función diferenciable $f : M \to \mathbb R$ con dominio $V$ .

Esto vuelve a ocurrir en la sección 4.2 sobre los vectores tangentes. Aunque escriba a $f : M \to \mathbb R$ , ellos media una función $f : V \to \mathbb R$ .

La razón más profunda es que introducen un concepto inusual de "función" en la sección 1.1:

A función en un conjunto $A$ con valores en un conjunto $B$ puede considerarse como una relación que asocia a cualquier elemento dado $a$ de un subconjunto de $A$ sólo un elemento $fa$ de $%B$ . Escribimos $$f : A \to B.$$ El subconjunto en el que $f$ se define es el dominio de $f$ .

En la literatura es frecuente encontrar este concepto bajo el nombre de "función parcial" $f : A \to B$ . En la p.2 continúan:

Si el dominio de $f$ es $A$ mismo, wed decir que $f$ es una función sobre $A$ y podemos enfatizarlo llamándolo global función.

Por tanto, lo que normalmente se denomina simplemente "función" se denota aquí como "función global".