Demostración de que un subconjunto del plano está localmente conectado por trayectorias

Question

Demuestra que $A:=\{(x,y) \in \Bbb R^2 \mid x \in \Bbb Q \iff y \in \Bbb Q\} \subset \Bbb R^2$ está conectada localmente.

Llevo tiempo intentando pensar en este problema y ni siquiera entiendo el conjunto $\{(x,y) \in \Bbb R^2 \mid x \in \Bbb Q \iff y \in \Bbb Q\}$ . Lo más cerca que puedo pensar de esto es $\Bbb Q^2$ pero no entiendo esta condición patológica $x \in \Bbb Q \iff y \in \Bbb Q$ .

Para demostrar que está conectada localmente creo que tengo que demostrar que para cada $x \in A$ ¿existe una base de vecindad que contenga sólo conjuntos localmente conectados por trayectorias?

Esta definición de conexión local de trayectorias parece un poco abrumadora. Son como tres condiciones diferentes. ¿Hay alguna caracterización de esto que podría ser útil aquí?

Answer 1

$A=\mathbb{Q}^2\cup\mathbb{I}^2$ está conectada localmente, es decir, cualquier $(a,b)\in A$ admite una base $(V_i)_{i \in I}$ de barrios en $A$ de forma que cada $V_i$ está conectado por un camino: toma $V_r=U_r\cap A$ para cualquier $r$ , $U_r$ siendo el cuadrado $\{(x,y)\in {\mathbb R}^2: |x-a|+|y-b|<r\}.$ Dos puntos cualesquiera de $V_r$ se unen dentro de $V_r$ por un segmento de recta de pendiente $1$ o $-1$ o por la unión de dos segmentos de este tipo.