¿Descripción algebraica de las variedades lisas compactas?

Question

Dada una variedad lisa compacta $M$ es relativamente bien sabido que $C^\infty(M)$ determina $M$ hasta el difeomorfismo. Es decir, si $M$ et $N$ son dos variedades lisas y existe una $\mathbb{R}$ -entre $C^\infty(M)$ et $C^\infty(N)$ entonces $M$ et $N$ son difeomorfos.

(Véase, por ejemplo, el libro "Characteristic Classes" de Milnor y Stasheff, donde un ejercicio nos guía a través de la demostración de este hecho).

Así, en cierto sentido, toda la información sobre el colector está contenida en $C^\infty(M)$ .

Además, las herramientas de la lógica/teoría de conjuntos/teoría de modelos, etc., se han aplicado claramente con más éxito a las estructuras puramente algebraicas que, por ejemplo, a la geometría diferencial o riemanniana. Esto se debe en parte al hecho de que muchas estructuras algebraicas interesantes pueden definirse mediante fórmulas de primer orden, mientras que en el entorno geométrico a menudo se utilizan (¿necesitan?) fórmulas de segundo orden.

Así pues, mi pregunta es doble:

En primer lugar, ¿existe una caracterización conocida de cuándo un determinado (conmutativo, unital) $\mathbb{R}$ -es isomorfa a $C^\infty(M)$ para alguna variedad lisa compacta $M$ ? Imagino que la respuesta es o bien conocida, o bien muy difícil, o ambas cosas.

En segundo lugar, ¿alguien ha aplicado la maquinaria de la lógica/etc. para, digamos, demostrar un resultado de independencia en geometría diferencial o riemanniana? ¿Cuáles son las referencias?

Answer 1

Hay una respuesta muy interesante a tu pregunta, y se llama modelos bien adaptados para geometría diferencial sintética . Andrew Stacey ya lo ha indicado en su respuesta, pero quizá yo pueda ampliar un poco más esta cuestión.

La geometría diferencial sintética es un sistema axiomático que caracteriza aquellas categorías cuyos objetos pueden considerarse sensatamente como espacios en los que el cálculo diferencial tiene sentido. Estas categorías se denominan topos suaves .

A modelo ya que se trata de una categoría particular con estas propiedades. A modelo bien adaptado es el que tiene un incrustación completa y fiel de la categoría de las variedades lisas. (Esto está "bien adaptado" desde el punto de vista de la geometría diferencial ordinaria: la geometría diferencial ordinaria se integra en estas teorías más potentes de estructuras lisas).

Lo sorprendente es que esta perspectiva en particular unifica útilmente las ideas de la geometría algebraica con las de la geotemática diferencial en un todo más amplio.

De hecho, la categoría de los preensamblajes en el opuesto de los anillos conmutativos (finitamente generados) es un modelo para los axiomas y, por supuesto, este es el contexto en el que tiene lugar la geometría algebraica.

Pero tenemos derecho a tomar categorías de sondeo considerablemente más ricas que la de los duales de anillos conmutativos. En particular, podemos considerar una categoría de anillos conmutativos que tengan la noción de ser "lisos" del mismo modo que un anillo de funciones lisas es "liso". Se trata de los anillos C-infinito o álgebra lisa generalizada s. Cada anillo de funciones suaves sobre una variedad suave es un ejemplo, pero hay más.

Los duales formales de estos anillos son espacios denominados loci lisos . Se trata de un análogo suave de la noción de esquema afín. (Obsérvese que la noción de "suave" utilizada aquí es la de la geometría diferencial, no la de la geometría algebraica, que es más bien "libre de singularidades". Pero no están desvinculadas).

El principal teorema para responder a tu pregunta es que la categoría de los manifolds se incrusta completa y fielmente en la de los loci lisos. Véase en el enlace loci lisos para conocer los detalles.

Pero dentro de la categoría SmoothLoci, los manifolds se caracterizan como el dual formal de sus anillos lisos de funciones, así que esa es una forma de responder a tu pregunta.

A partir de aquí se desarrolla una gran historia, pero por el momento esto quizá baste como respuesta.

Answer 2

http://www.amazon.com/Smooth-Manifolds-Observables-Jet-Nestruev/dp/0387955437/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1258126939&sr=8-1

Answer 3

Referencia obligatoria a n-lab: álgebra lisa generalizada . Muchos enlaces a otras páginas y a otras publicaciones, en particular el libro de Moerdijk y Reyes. Modelos de análisis infinitesimal suave .

Answer 4

No soy experto en este tema y no puedo responder directamente a tus preguntas, pero me parece que está relacionado con el enfoque no conmutativo de Connes de la geometría de Riemann. Considera los llamados "triples espectrales", que consisten en un (cierto tipo de) álgebra no conmutativa que actúa sobre un espacio de Hilbert junto con un operador no limitado. Se supone que esto es la generalización de $C^\infty(M)$ , $L^2$ -espinores integrables y el operador de Dirac. La tripleta debe satisfacer ciertas condiciones, inspiradas en el caso de los múltiples (conmutativos). Cuando el álgebra es de hecho conmutativa, creo recordar que tales triples espectrales son precisamente los que surgen de un múltiple. (Expertos: ¿es esto cierto?)

Creo que he leído sobre esto en "Elementos de geometría no conmutativa" por pero como esto no es realmente mi área no tengo ni idea si este es el mejor lugar para empezar.

Answer 5

En algunos casos (como el de las variedades complejas compactas) basta con un enfoque relacional a la antigua usanza para aplicar la teoría de modelos a la geometría. No se necesita el álgebra de funciones. Basta con nombrar todos los submanifolds de un manifold y trabajar con un lenguaje incontable. En este contexto, no todos los modelos son colectores, pero se pueden demostrar teoremas sobre colectores. He aquí un estudio: http://arxiv.org/abs/math/0702468