Significado geométrico del flujo de Ricci

Question

¿Cuál es el significado geométrico, para una métrica en función del tiempo que es una solución del flujo de Ricci ( $g'(t)=-2Ric(t)$ ), en comparación con otro que no lo es?

EXPLICACIÓN Me interesa entender, siendo que no todas las métricas satisfacen la ecuación, $g'(t)=-2Ric(t)$ qué diferencias hay, desde el punto de vista geométrico, entre una métrica que es solución del flujo de Ricci y otra que no lo es. Porque, por ejemplo, puede haber una familia de métricas dentro de las cuales sólo una sea solución del flujo y las demás no lo sean... ¿qué "cualidad" (pásame el término) tiene desde el punto de vista geométrico esta métrica que no tengan las demás?

Answer 1

Si $g'(t) \neq -2Ric(t)$ puede ser cualquier otra cosa. El flujo de Ricci es, en cierto sentido, un núcleo de calor aplicado al tensor métrico riemanniano, uniformizándolo en el tiempo; si empiezas a modificar el tensor métrico según lo que te parezca, acabarás teniendo el espacio que quieras. Quizá quieras restringir el tipo de cosas con las que te interesa comparar el flujo de Ricci; por ejemplo, una pregunta que no me sé de memoria: ¿qué tipo de ecuaciones diferenciales admiten las mismas soluciones en el límite que el flujo de Ricci, para el tensor métrico?