encontrar una permutación $\sigma$ de orden 4 que satisface $\sigma^{-1}\tau\sigma = \tau^2$

Question

Sea $\tau = (1\,2\,3)(4\,5\,6)(7\,8\,9)(10\,11\,12) \in S_{12}$ . Queremos encontrar una permutación $\sigma$ de orden 4 tal que $\sigma^{-1}\tau\sigma = \tau^2$ .

Por fuerza bruta con casos, llegué a una posible $\sigma = (1\,6\,7\,12)(2\,5\,8\,11)(3\,4\,9\,10)$ pero no era elegante ni mucho menos. Me preguntaba cuál sería una forma sistemática de resolver este tipo de problemas. Agradecería cualquier aportación.

Answer 1

Voy a suponer que sus permutaciones están actuando a la derecha - es posible que tenga que cambiar algunas órdenes e intercambiar $\sigma$ con $\sigma^{-1}$ si este no es el caso.

Usted tiene $\tau^2=(1,3,2)(4,6,5)(7,9,8)(10,12,11)$ .

En general, se puede demostrar que $\sigma^{-1}(x_1,\ldots, x_k)\sigma=(x_1^\sigma,\ldots,x_k^\sigma)$ .

Con estas dos cosas en mente, puede leer una selección de $\sigma$ : $$\sigma=(2,3)(5,6)(8,9)(11,12)$$

Por supuesto esto tiene orden $2$ no $4$ . Una forma de resolverlo es encontrar una orden $4$ permutación $\sigma_0$ que conmuta con $\sigma$ et $\tau$ y utilizar $\sigma_1=\sigma_0\sigma$ . Esto daría $\sigma_1^{-1}\tau\sigma_1=\tau^2$ y el orden de $\sigma_1$ es $4$ . Una opción para $\sigma_0$ y la correspondiente $\sigma_1$ es: $$\sigma_0=(1,4,7,10)(2,5,8,11)(3,6,9,12)$$ $$\sigma_1=(1,4,7,10)(2,6,8,12)(3,5,9,11)$$