Aplicaciones de la "otra" definición de las poleas

Question

En la mayor parte de la literatura, cuando intentas buscar la definición de entrelazamiento, verás la definición habitual de entrelazamiento previo como un functor de un espacio topológico (o de una topología de Grothendieck) a alguna categoría, y entonces los entrelazamientos requerirían que esta categoría fuera completa y que tuvieras alguna condición de exactitud/igualación.

Pero para algunas categorías existe otra definición equivalente. Te definen una "protosheaf" (hay varios nombres para estas criaturas), un espacio de gavilla, un espacio base, un homeomorfismo local entre el espacio de gavilla y el espacio base, incluso ya te definen un tallo.. pero esta definición parece no ser muy abstracta desde el punto de vista de la teoría de categorías ya que sólo veo este tipo de definición para categorías muy específicas (por ejemplo en la categoría de grupos o anillos, quieres que la operación de adición definida en el producto fibra del espacio de gavilla sobre el espacio base sea continua). ¿Cuál es la forma teórica categorial equivalente de definir una gavilla utilizando este método? ¿En qué casos esta definición nos da una ventaja más psicológica que la anterior? Personalmente he encontrado la primera definición más ventajosa en mi práctica, pero hay algunas prácticas matemáticas en las que la segunda definición podría ser más útil.

Answer 1

He aquí una elegante aplicación de las gavillas vistas como espacios étalé.

Consideremos una variedad compleja $M$ . Automáticamente viene con un isomorfismo local holomorfo $\pi: \mathcal O_M \to M $ descrito de la siguiente manera. Como conjunto $\mathcal O_M$ es el conjunto de todos los gérmenes de funciones holomorfas en todos los puntos de $M$ El mapa $\pi$ envía un germen al punto en el que se considera. Entonces dotamos $\mathcal O_M$ con la siguiente topología. Para un conjunto abierto conexo $U\subset M$ y una función holomorfa $f$ en $U$ denotemos por $[U,f]\subset\mathcal O_M$ el conjunto de todos los gérmenes $f_a$ con $a\in U$ . Estos $[U,f]$ se decretan como base abierta para la topología de $\mathcal O_M$ Entonces existe una única estructura compleja en $\mathcal O_M$ tal que $\pi: \mathcal O_M \to M $ se convierte en un isomorfismo local HOLOMÓRFICO. En $\mathcal O_M$ existe una función holomorfa tautológica universal $F:\mathcal O_M \to \mathbb C: f_a \to f_a (a)$ . (Tenga en cuenta que $\mathcal O_M$ es enorme, desconectada pero Hausdorff).

Y ahora el remate : dada una función holomorfa $f$ en $U\subset M$ tome la componente conexa $Riem(U)$ de $[U,f]$ en $\mathcal O_M$ . Junto con la restricción $F|Riem(U)$ es la máxima extensión holomórfica de $f$ un concepto sofisticado admirablemente manejado por las poleas como espacios étalé (El colector $Riem(U)$ se denomina dominio de existencia de $f$ .)

Incluso en la dimensión uno y para $M=\mathbb C$ esto es bastante potente: se obtiene la superficie de Riemann $(Riem(U), F|Riem(U))$ de cualquier función holomorfa $f$ en un dominio arbitrario $U\subset \mathbb C$ sin los cortes, pegados, continuaciones por caminos,... a los que son tan aficionados los libros clásicos de análisis complejo.

Una referencia para ello podría ser el libro de Fritzsche-Grauert "From Holomorphic Functions to Comples Manifolds", Capítulo II, $$8,9 (Springer, GTM 213). El libro de Narasimhan y Nievergelt que Charles evocó tan pertinente y rápidamente parece tratar el caso de dimensión uno (que en realidad basta para transmitir la idea de la gavilla).

Por último, cabe destacar que la definición de estilo EGA que Hartshorne da para la gavilla de estructura $\mathcal O$ del esquema afín $Spec(A)$ (página 70 de EL LIBRO) es exactamente análoga a la descripción anterior: el espacio étalé es la unión disjunta de todos los anillos locales $A_P$ para $P\in A$ y $\mathcal O(U)$ es el conjunto de mapas continuos de $U$ en el espacio étalé; Sólo que Hartshorne no dice cuál es la topología en el espacio étalé y la condición de continuidad se sustituye por una descripción ad hoc en términos de elementos de los anillos de fracciones $A_f$ .

Answer 2

La definición "sheaf space = espace étalé" es mejor (las opiniones pueden variar) que la definición especificando secciones sobre conjuntos abiertos al menos en los siguientes casos:

1. Trabajar con gavillas constantes o casi constantes, como las gavillas construibles.
2. Para definir la restricción $F|_S$ a un subconjunto arbitrario, no necesariamente abierto $S\subset X$ y, en particular, comprender el conjunto de secciones $F(S)$ sobre un subconjunto no abierto.
3. Para definir el retroceso $f^{-1}F$ .
4. Para demostrar que $f_*$ y $f^{-1}$ son adyacentes.

Dado que las dos definiciones son equivalentes, todo esto se puede lograr utilizando sólo conjuntos abiertos, pero el uso del espacio de gavilla da una mejor imagen geométrica de la situación.

Estos ejemplos se aplican a tramas sobre espacios topológicos, no necesariamente a las otras categorías que has mencionado.

Answer 3

Existe una generalización de una preforma denominada "categoría fibrada" o "fibración de Grothendieck". Es análoga a la construcción del espacio etale para los preensamblajes en O(X). Todo preperfil en el sentido de un preperfil que toma valores en conjuntos (la mayoría de las demás construcciones proceden de preperfiles enriquecedores de conjuntos) puede identificarse con un tipo muy sencillo de categoría fibrada. En general, las categorías fibrosadas con una escisión fija (algo así como un esqueleto de pullbacks) definen un pseudofuntor contravariante que toma valores en la categoría 2 de categorías. Es sólo un pseudofunctor porque la composición no es en general estrictamente asociativa, sino simplemente asociativa hasta el isomorfismo único. Deberías consultar el libro de Vistoli sobre descenso, categorías fibrosadas y topologías de Grothendieck aquí: http://homepage.sns.it/vistoli/descent.pdf .

Pero para responder a tu pregunta, para generalizar el espacio etale para las láminas, tendrás que introducir la idea de descenso para los montones de 1, entonces las láminas se convierten en montones degenerados, es decir, montones de 0. Si intentas tratar las láminas sin recurrir demasiado a la teoría de categorías, tienes que recordar que los pretramas de grupos abelianos, por ejemplo, son pretramas de objetos de grupos abelianos en conjuntos. Todas las categorías que has mencionado son monádicas con respecto al olvidadizo functor adjunción con Conjuntos, así que siempre podemos simplemente tomar objetos de ese tipo en la categoría de conjuntos. Es la razón por la que una "preforma de espacios topológicos" no tiene mucho sentido, ya que Top no es algebraico sobre conjuntos. Así que no hay una buena manera de definir gavillas que tomen valores en una categoría arbitraria sin aumentar sustancialmente la generalidad.

Si no estás familiarizado con lo que estoy hablando específicamente, "sheaves in geometry and logic" de Mac Lane tiene una explicación muy detallada de cómo funciona el espacio etale, y cómo podemos producir sheaves que toman valores en categorías algebraicas, pero no en categorías arbitrarias. También tiene una construcción muy detallada del espacio etale para pretramas de conjuntos y también demuestra la equivalencia de categorías entre la subcategoría completa de tramas de conjuntos y la subcategoría completa de "haces" (la terminología de Mac Lane aquí, así que no te confundas cuando llama al espacio etale el haz etale) llamados espacios etale.

Answer 4

Existe una importante aplicación de la "otra definición" en la geometría aritmética: Se utiliza para dar una acción canónica del frobenius sobre gavilla definida sobre un campo finito:

Existe una equivalencia de categorías entre láminas construibles ("láminas usuales") sobre una variedad $X$ y espacios algebraicos etale sobre $X$ ("otras gavillas").

Ahora se puede utilizar la acción de Frobenius sobre espacios y traducirla a través de la equivalencia en una acción sobre tramas.

Answer 5

Tengo entendido que de lo que hablas es del espace etale (no estoy seguro de dónde van los acentos) de la gavilla, y era la definición original. Demostrar que la gavilla de secciones de este espacio es un ejercicio de Hartshorne. El único lugar en el que he visto esa definición utilizada seriamente es en este Libro de análisis complejo de Narasimhan y Nievergelt. Aunque utilizan la definición de espace etale exclusivamente, y durante casi todo el libro para manejar gérmenes de funciones holomorfas.