$n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 = m^3$ $\implies$ $4| n+1$ ?

Question

Si $n$ y $m$ son enteros positivos de modo que $n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 = m^3$ entonces, ¿es cierto que $4$ divide $n+1$ ?

Answer 1

Sí, es cierto, simplemente porque la única solución en enteros positivos es $3^3+4^3+5^3=6^3$ . Ya Euler estudió este problema. Hasta ahora no se ha dado ningún enlace para una prueba. Así que aquí hay una prueba . También puede haber una solución sin usando esto, pero parece que no es necesario.