pdf de media, moda, mediana

Question

Me han dado la media, la mediana y la moda de una función y tengo que hallar la función de densidad de probabilidad.

media: $\gamma - \beta\Gamma_1$

mediana: $\gamma-\beta(ln2)^{1/\delta}$

modo: $\gamma-\beta(1-1/\delta)^{1/\delta}$

También se me da que $$\Gamma_k=\Gamma(1+k/\delta)$$ $$\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}dt$$ $$ -\infty<x<\gamma, \beta>0, \gamma>0 $$

Ahora entiendo cómo calcular la media, la moda y la mediana cuando se da una función de densidad de probabilidad. Sin embargo, tengo dificultades para ir hacia atrás. Al principio intenté "invertir" el proceso diferenciando la media o la mediana, pero sé que esto es saltarse la sustitución por encima del límite dado.

Luego busqué patrones con distribuciones conocidas y me di cuenta de que son de la distribución Weibull sin embargo $\gamma-$ . ¿Significa esto esencialmente que se trata de una distribución típica de Weibull aunque desplazada por $\gamma$ y por lo tanto el pdf será $\gamma-Weibull pdf"$

Answer 1

Teniendo en cuenta sólo la media, la mediana, la moda y el máximo, yo esperaría que hubiera un número infinito de distribuciones posibles. Pero parece que tienes razón en que la obvio una está relacionada con la distribución de Weibull

Lo que estás diciendo es que $W$ es una variable aleatoria Weibull con parámetro de escala de distribución $\beta$ y el parámetro de forma $\delta$ entonces una posibilidad es que la variable aleatoria que usted está buscando podría ser $X=\gamma - W$

Esta distribución de Weibull tendría una densidad $$f_W(x)=\begin{cases} \frac{\delta}{\beta}\left(\frac{x}{\beta}\right)^{\delta-1}e^{-(x/\beta)^\delta} & x\geq0\\ 0 & x<0\end{cases}$$

por lo que si $X=\gamma - W$ entonces $X$ tendría densidad $$f_X(x)=\begin{cases} \frac{\delta}{\beta}\left(\frac{\gamma-x}{\beta}\right)^{\delta-1}e^{-((\gamma-x)/\beta)^\delta} & x \leq \gamma\\ 0 & x>\gamma\end{cases}$$