¿Cómo puedo resolver esta pregunta con una distribución geométrica o variables aleatorias?

Question

He intentado utilizar una "distribución geométrica", pero no ha funcionado.

John y Ron juegan al baloncesto 10 veces.
La probabilidad de que Juan gane en una sola ronda = $0.4$ .
La probabilidad de que Ron gane en una sola ronda = $0.3$ .
La probabilidad de que haya igualdad entre ellos en una sola ronda = $0.3$ .
El "Ganador" se define como el primero en ganar una sola ronda.
Las rotaciones son diferentes e independientes.

¿Cuál es la probabilidad de que Juan sea el ganador?

Answer 1

Dado que hay exactamente $10$ rondas, la probabilidad de no tener ganador al final de la $10$ rondas es $0.3^{10}$ . Entonces sabemos que la probabilidad de tener un ganador es $1-0.3^{10}$ .

Dicha probabilidad debe repartirse entre Juan y Ron en la proporción $0.4/0.3$ . Así que la probabilidad de que John gane es $$\frac{4}{7} (1-0.3^{10})$$

Answer 2

Dado que sólo juegan $10$ veces, la probabilidad de que Juan gane es igual a la suma de las probabilidades de que Juan gane en las $i$ - en el cuarto asalto:

$$P=\sum_{i=1}^{10}\left ( 0.3^{i-1}\times 0.4\right )=0.4\times\frac{1-0.3^{10}}{0.7}$$

donde la probabilidad de que Juan gane en la $i$ -a ronda es $0.3^{i-1}\times 0.4$ porque la primera $i-1$ rondas fueron todas tablas.

Answer 3

Sea J la probabilidad de que Juan gane una ronda. (0.3) Sea T la probabilidad de que no haya ganador en la ronda. (0.3) Sea WJn la probabilidad de que Juan gane en la ronda n o más tarde .

WJ1 = J + T*WJ2

WJ2 = J + T*WJ3

WJ10 = J (ya que no hay rondas posteriores)

Sustituir y ampliar

WJ1 = J + JT + JT^2 + ... + JT^9

WJ1 = J * (suma i=0 a 9)T^i

WJ1 = 0,3 * 1,43 = 0,43