¿Por qué los espacios de raíces de la descomposición de raíces del álgebra de Lie semisimple son unidimensionales?

Question

Estoy intentando entender el sistema de raíces del álgebra de Lie semisimple pero tengo problemas para seguir uno de los pasos de la nota que explica por qué cada espacio de raíces es unidimensional. De acuerdo con la nota, dado un álgebra de Lie semisimple $\mathfrak{g}$ podemos descomponerlo en

\begin{equation} \mathfrak{g} = \mathfrak{h} \oplus (\bigoplus_{\alpha \in \mathfrak{h}^*-{0}}\mathfrak{g}_{\alpha}) \end{equation} donde $\mathfrak{g}_\alpha := \{x \in \mathfrak{g} | [h,x] = \alpha(h)x, \forall h \in \mathfrak{h}\}$ y $\mathfrak{h} := \{x \in \mathfrak{g} | [\tilde{h},x] = 0\}$ donde $\tilde{h}$ es regular y semisimple. Ahora la nota dice que, escoge $X_{\alpha} \in \mathfrak{g}_{\alpha}$ , $Y_{\alpha} \in \mathfrak{g}_{-\alpha}$ y $H_{\alpha} \in \mathfrak{h}_{\alpha} := [\mathfrak{g}_{\alpha}, \mathfrak{g}_{-\alpha}] \subset \mathfrak{h}$ (que se demostró en la nota anterior que $\mathfrak{h}_{\alpha}$ es unidimensional), éstas generarán una subálgebra isomorfa a $\mathfrak{sl}(2)$ y consideraremos la representación adjunta de $\mathfrak{sl}(2)$ .

Hasta aquí todo parece correcto, pero lo siguiente es lo que me ha confundido: Supongamos que la dimensión de $\mathfrak{g}_{-\alpha}$ es mayor que 1 entonces podemos encontrar otro $Z \in \mathfrak{g}_{-\alpha}$ tal que $[X_{\alpha}, Z] = 0$ porque $\mathfrak{h}_{\alpha}$ es unidimensional.

No entiendo por qué tal afirmación es cierta. Sólo veo que si $\mathfrak{h}_{\alpha}$ era unidimensional entonces $[X_{\alpha}, Z]$ debe ser proporcional a $H_{\alpha}$ . ¿Alguien podría explicarme el paso para obtener la reivindicación o bien alguien podría guiarme como completar la prueba a partir de este punto? (o simplemente una explicación en general de por qué los espacios radiculares son unidimensionales porque he intentado leer en otros sitios pero la demostración parece ser mucho más complicada que esta).

La nota a la que me refiero es http://stacky.net/files/written/LieGroups/LieGroups.pdf conferencia 13, página 67-68.

Answer 1

Si $\dim {\mathfrak g}_{-\alpha}>1$ entonces el mapa $[-,X_\alpha]: {\mathfrak g}_{-\alpha}\to {\mathfrak h}_\alpha$ no puede ser inyectiva ya que ${\mathfrak h}_\alpha$ es $1$ -dimensional como usted ya sabe. Explícitamente, si $Z\in{\mathfrak g}_{-\alpha}$ entonces $Z^{\prime} := Z - [Z,X_{\alpha}]X_{-\alpha}$ satisface $[Z,X_\alpha]=0$ .

Alternativamente, la prueba que conozco y me gusta es la siguiente: Consideremos $${\mathfrak g}(\alpha) := {\mathbb k}\cdot X_{-\alpha}\oplus {\mathfrak h}_{\alpha}\oplus\bigoplus\limits_{n\geq 1} {\mathfrak g}_{n\alpha}.$$ Es naturalmente un módulo sobre la subálgebra de Lie ${\mathbb k}\cdot\{X_{-\alpha},H_\alpha,X_\alpha\}\cong{\mathfrak sl}_2({\mathbb k})$ de ${\mathfrak g}$ . Por lo tanto, dado que $H_\alpha = [X_\alpha,X_{-\alpha}]$ la traza de la acción adjunta $[H_\alpha,-]$ en ${\mathfrak g}(\alpha)$ debe ser $0$ pero por otro lado iguala $$-2 + 0 + 2\cdot \dim {\mathfrak g}_\alpha + 4\cdot\dim {\mathfrak g}_{2\alpha} + ...$$ De ello se deduce que $\dim{\mathfrak g}_\alpha=1$ y $n\alpha\notin\Phi$ para todos $n>1$ .

En el entorno infinito-dimensional de las álgebras de Kac-Moody las cosas se rompen muy pronto, ya que no es cierto en general que $[{\mathfrak h}_\alpha,{\mathfrak g}_\alpha] = [[{\mathfrak g}_\alpha,{\mathfrak g}_{-\alpha}],{\mathfrak g}_\alpha]\neq 0$ impidiéndole construir un ${\mathfrak sl}_2$ -triple desde cualquier raíz (sólo funciona para las raíces reales).