Medida, absolutamente continua en el límite

Question

Sea $\mu$ sea una medida de Borel finita no negativa sobre $\mathbb R^2_+=[0,+\infty) \times [0,+\infty)$ tal que $\mu( \partial \mathbb R^2_+)=0$ es decir $\mu$ es absolutamente continua en la frontera. ¿Es cierto que existen tales $\alpha > 0$ , $\beta>0$ que $$ \int\limits_{\Large\mathbb R^2_+} \frac{1}{x^\alpha y^\beta} d\mu < \infty $$ ¿o podemos encontrar un contraejemplo?

Answer 1

No, no necesariamente. Como contraejemplo, veamos $\mu$ colocar masa $2^{-n}$ en el punto $(2^{-2^n},1)$ para $n=1$ , $2$ , $3$ , $\dots$ y ninguna masa en otro lugar. Entonces $\mu$ satisface las condiciones dadas pero para cualquier $\alpha$ y $\beta$ , $$ \int\limits_{\Large\mathbb R^2_+} \frac{1}{x^\alpha y^\beta} d\mu = \sum_n 2^{-n} 2^{2^n \alpha}=\sum_n 2^{-n+2^n\alpha}=\infty. $$