Demuestra que $(2proj_v-I)^T(2proj_v-I)=I$

Question

Así que tenemos que $(2proj_v-I)^T(2proj_v-I)=I$

Trabajando en el lado izquierdo tenemos:

$$(2proj_v^T-I^T)(2proj_v-I)$$

Multiplicando por tenemos:

$$(2proj_v^T)(2proj_v)-2Iproj_v+I$$

Pero no sé cómo simplificar esto para que sólo obtenga $I$ . ¿He cometido algún error con la transposición?

Answer 1

Permítanme denotar $P:=proj_v$ . Supongo que $P$ es una proyección ortogonal, por lo que $P^2 = P$ y $P=P^T$ . Entonces se puede demostrar $$ (2 P-I)^T(2 P-I)= 4 P^TP - 2 P - 2 P^T + I = 4 P - 2P - 2P + I = I. $$ Parece que el término $-2P^T$ falta en su cálculo.