La estructura de $(\mathbb Z/525\mathbb Z)^\times$

Question

Estoy trabajando en el siguiente problema.

Hallar el número de los elementos de orden $4$ en $(\mathbb Z/525\mathbb Z)^\times$ .

He intentado resolverlo de la siguiente manera: puesto que $525=3\cdot5^2\cdot7$ tenemos por la CRT $$ (\mathbb Z/525\mathbb Z)^\times \cong (\mathbb Z/3\mathbb Z)^\times \times (\mathbb Z/25\mathbb Z)^\times \times (\mathbb Z/7\mathbb Z)^\times. $$

Por el hecho declarado por un artículo de Wikipedia los grupos constituyentes del lado derecho son isomorfos a los grupos cíclicos de orden $2$ , $20$ , $6$ respectivamente. Así, el orden de un elemento en $(\mathbb Z/525\mathbb Z)^\times$ es el mínimo común múltiplo de algún subconjunto $S\subseteq\{2, 20, 6\}$ que nunca puede ser $4$ . En conclusión, el número de los elementos de orden $4$ en $(\mathbb Z/525\mathbb Z)^\times$ es $0$ .

Mi pregunta es si mi razonamiento es correcto (cosa que dudo porque el resultado es muy trivial). También me gustaría preguntar dónde se pueden encontrar pruebas accesibles del hecho en Wikipedia (preferiblemente en la Web).

Le agradecería su ayuda.

Answer 1

Tu razonamiento es erróneo; si bien es cierto que todos los elementos (no triviales) del grupo cíclico $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ son de orden $p$ cuando $p$ es primo, ese mismo hecho no se cumple para grupos arbitrarios $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ . En efecto, si el orden del elemento $g\in(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ es $n$ entonces el orden de $g^k$ es $\frac{n}{\gcd(n,k)}$ (¿por qué?). En particular, hay algunos elementos de orden $4$ en $(\mathbb{Z}/25\mathbb{Z})^\times$ (¿cuántos?) y por tanto hay elementos de orden $4$ en $(\mathbb{Z}/525\mathbb{Z})^\times$ (¿por qué tiene que haberlo?). Su idea de utilizar el $LCM$ es esencialmente sólido cuando se limita a los elementos individuales de los tres grupos "constituyentes", sin embargo, y usted debería ser capaz de portar ese paso para determinar cuántos elementos hay.