Cómo encontrar $\Gamma{\left(\frac{8}{9}\right)}=\frac{9-\sqrt{14}+\sqrt{75-32\sqrt{3}}}{33}\cdot\sqrt[4]{182}$

Question

Demuestre que $$\Gamma{\left(\dfrac{8}{9}\right)}=\dfrac{9-\sqrt{14}+\sqrt{75-32\sqrt{3}}}{33}\cdot\sqrt[4]{182}$$ donde la función Gamma http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function He encontrado este problema es American Mathematical Monthly (1975,E5952 problema) y post por J.Gilles, y me encontré con este problema no puede solución, y creo que esto es muy interesante problema,

¿Cómo encontrar la solución a este problema? Gracias a todos

Answer 1

Problema 5953 (no E) ... Mensual 1974 p 1033 corrección...

Solución ... Mensual 1975 p 679

Answer 2

Es sorprendente que el problema llegara a la revista American Mathematical Monthly.

Existe un conjunto conocido y conjeturalmente completo de situaciones en las que un producto de potencias de $\Gamma(x)$ en varios valores racionales de $x$ es algebraico. $\Gamma(8/9)$ no es uno de ellos. Permitir poderes de $\pi$ no hay forma de aislar un valor individual de $\Gamma(a/b)$ con $b>2$ utilizando las ecuaciones funcionales, y una fórmula simple para tal número es muy difícil de creer.

Puedes encontrar una descripción abstracta de la receta de los gammas algebraicos en el artículo considerablemente más abstracto de Pierre Deligne sobre funciones L y periodos de integrales (o en el apéndice de ese artículo, escrito por Nicholas Katz). Éste se publicó más tarde que el Problema mensual, pero la parte sobre los gammas algebraicos $\Gamma$ fue ampliamente entendido de manera informal, y no sólo por los expertos, durante mucho tiempo antes de su declaración formal en el artículo de Deligne.