Sea $A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ con $A^2+A+I_n =0_n$ . Demostrar que $A^3=I_n$

Question

Sea $A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ con $A^2+A+I_n =0_n$ . Demostrar que $A^3=I_n$ .

Progreso :
Me las arreglé para demostrar que $A$ es invertible. Comprobado este sin ninguna ayuda todavía.

Answer 1

Pista:

recuérdalo:

$$A^3-I=(A-I)(A^2+A+I)$$

Answer 2

Tiempos de $A$ para obtener $$A^3 + A^2 + A = 0$$ así que $$A^3 = -A^2 - A$$ Pero sabemos por la condición dada que $I_n = - A^2 - A$ Así que $A^3 = I_n$ .

Se trata de un truco bastante típico utilizado en la aplicación de lo que se conoce como la Teorema de Cayley-Hamilton .

Answer 3

$$A^2+A+I=0\Rightarrow A^2+A=-I$$ Por lo tanto $$A(A^2+A+I)=A\cdot 0=0\Rightarrow A^3+A^2+A=0\Rightarrow A^3+(-I)=0\Rightarrow A^3=I$$