Demuestra que $\alpha(t)$ se encuentra en una esfera

Question

Me piden que demuestre que la traza de la curva $\alpha(t)=(r\sin^2(t), r \sin(t),r \cos(t))$ se encuentra en una esfera.

Lo que he probado hasta ahora:

Dejar $\alpha(t)=(x(t),y(t),z(t))$ tenemos que $x^2(t)+y^2(t)+z^2(t)=r^2(\sin^4(t)+1)$ que no satisface la ecuación de una esfera. Además, he trazado la curva y no estoy seguro de si la traza se encuentra realmente en una esfera.

¿Alguna pista? Gracias.

Answer 1

Supongamos que $C=(a,b,c)$ es el centro de la esfera en la que $\alpha$ se supone que miente. El cuadrado de la distancia $d(C,\alpha)$ tiene que ser constante. Por lo tanto por diferenciación

$$\langle \alpha^\prime(t), \alpha(t) - C \rangle$$ tiene que ser igual a cero para todos $t \in \mathbb R$ . Es decir

$$\begin{aligned} 2\sin t \cos t(a - r\sin^2 t) + \cos t(b -r \sin t) - \sin t(c - r \cos t)&=\\ 2\sin t \cos t(a - r\sin^2 t) + b \cos t - c\sin t=0 \end{aligned}$$

Utilizando $t = 0$ obtenemos $b=0$ y $c =0$ se obtiene al introducir $t= \pi/2$ . Nos queda la ecuación $$\sin t \cos t(a - r\sin^2 t) = 0$$ que debería ser válido para todos los $t \in \mathbb R$ . Y eso no puede ser como implicaría $a - r\sin^2 t=0$ para todos $t\in (0,\pi/2)$ .

Por lo tanto, la curva no se encuentra en una esfera.

Answer 2

La curva no se encuentra en ninguna esfera.

Supongamos que esta curva se encuentra en una esfera cuyo centro es $(a,b,c)$ entonces esta suma debe ser una constante y no debe depender de $r$ o $t$

$$S = (r\sin^2(t)-a)^2+(r\sin(t)-b)^2+(r\cos(t)-c)^2$$

Pero

$$S = r^2 \sin^4(t)-2r(a\sin^2(t)+b\sin(t)+c\cos(t)) + (a^2+b^2+c^2)$$

Es imposible hacer $S$ constante ajustando $a,b,c$ porque el término $r^2 \sin^4(t)$ no puede eliminarse.

Conclusión: la curva no se encuentra en ninguna esfera.

Answer 3

No existe tal esfera. Si la hubiera, que $(a,b,c)$ sea su centro. Entonces las distancias desde $(a,b,c)$ a $p(0)(=(0,0,1))$ a $p\left(\frac\pi2\right)(=(1,1,0))$ a $p\left(-\frac\pi2\right)(=(1,-1,0))$ y a $p(\pi)(=(0,0,-1))$ serían todos iguales. Esto significa que $(a,b,c)$ es una solución del sistema $$\left\{\begin{array}{l}a^2+b^2+(c-1)^2=(a-1)^2+(b-1)^2+c^2\\a^2+b^2+(c-1)^2=(a-1)^2+(b+1)^2+c^2\\a^2+b^2+(c-1)^2=a^2+b^2+(c+1)^2\end{array}\right.$$ Este sistema tiene una y sólo una solución, que es $\left(\frac12,0,0\right)$ . Entonces el radio de la esfera sería la distancia desde $\left(\frac12,0,0\right)$ a $(0,0,1)$ que es $\frac{\sqrt5}2$ . Pero la distancia de $p\left(\frac\pi6\right)\left(=\left(\frac34,\frac{\sqrt3}2,\frac12\right)\right)$ a $\left(\frac12,0,0\right)$ es $\frac{\sqrt{17}}4\ne\frac{\sqrt5}2$ .