Cuando escribir "$dx$" en la diferenciación

Question

Estoy tomando las ecuaciones diferenciales, y la falta de conocimiento fundamental en el cálculo es la patear mi trasero.

En la clase, mi profesor ha hecho varias implícito diferenciaciones. Me doy cuenta de que al tomar la derivada con respecto a "$x$," tengo que escribir "$\frac{dy}{dx}$" siempre que puedo diferenciar "$y$" y nada cuando se trata de "$x$" ya que será "$\frac{dx}{dx}$."

Sin embargo, hoy en día, ha diferenciado la ecuación "$y=ux$" para conseguir "$d y= u\, d x + x\, d u$." No estoy seguro de por qué ha decidido escribir $d y$ $d x$ por separado como eso. No creo que él hizo implícita diferenciación. Puede alguien explicar lo que él hizo? Muchas gracias.

EDITAR: Para dar más contexto, el profesor estaba trabajando en el cambio de un homogénea de la ecuación diferencial a una separables ecuaciones diferenciales. Afirmó que, en $f(x,y)$ $y$ debe ser sustituido con $ux$. Por lo tanto, $f(x,ux)$. Esto le llevó a encontrar la derivada de la ecuación, que escribió como "$dy = u\,dx + x\,du$"

Answer 1

A veces escribimos $$ d y= u d x + x d u $$ y entiendo que significa $$ \frac{d y}{dt}= u \frac{d x}{dt} + x \frac{d}{dt} $$ donde $x, y$ $u$ todas las funciones son de alguna variable $t$, quizás $t$ aún está por determinar...

Answer 2

$dx$ es realmente un enigma en el cálculo y ecuaciones diferenciales. Leibniz tratada como un "infinitesimal"-un número menor que cualquier número positivo, pero más grande que la de $0$. En la geometría diferencial es algo que se llama una sola forma. Si pudiera colocar dos nombres a la vez, Raoul Bott me contó una historia acerca de una clase que él tomó de J. H. C. Whitehead, quien, cuando se le preguntó, "¿Qué es exactamente $dx$?", celebrada el pulgar y el índice $\varepsilon$ aparte y dijo: "Liiiiittle bits de $x$."

Pero en el cálculo $dx$ se llama diferencial. Puede ser tratada como una variable independiente con $x$. Si $y$ depende de $x$, entonces podemos agregar su diferencial de la variable $dy$ y se relacionan todos ellos con la ecuación $$ dy = \frac{dy}{dx} \,dx $$

A continuación, todas las advertencias en el cálculo que $dx$ $dy$ no son números, por lo que no pueden sostenerse solos y ciertamente no se puede "dividir" a la forma $\frac{dy}{dx}$ puede ser barridos bajo la alfombra. Así Arkamis de la derivación no es riguroso, pero es "lo suficientemente riguroso" para pregrado de introducción a la educación a distancia curso.

Answer 3

Es simplemente el producto de la regla y de la regla de la cadena a la que aplica:

$$\requieren{cancel} y = u(x) x \implica \frac{dy}{dx} = u \frac{dx}{dx} + \frac{du}{dx}x \implica dy = u\, dx \frac{\cancelar{dx}}{\cancelar{dx}} + x\, \cancelar{dx} \frac{du}{\cancelar{dx}}.$$

Answer 4

$\partial y = u \partial x + x \partial u$ es muy inusual notación de aquí. Generalmente, notación similar sólo aparece en las formas como la $\partial_i$, y se entiende como la taquigrafía para un determinado operador de la derivada direccional (es decir,$\partial / \partial x_i$, cuando estás escribiendo todo en términos de una secuencia $\{ x_i \}$ de las variables independientes).

Si tu maestro escribió $\mathrm{d} y = u \, \mathrm{d} x + x \, \mathrm{d} u$, lo que tendría más sentido, como una ecuación con diferenciales.

Es posible que su maestro fue el uso de $\partial$ a expresar que él quiere tomar una derivada parcial con respecto a algunas de las no especificadas de la variable, pero no hay razón para que tal cosa puesto que la idea ya está capturado en una forma estándar a través de los diferenciales y la forma en que se combinan con las direcciones: una vez que usted decida sobre una dirección $v$, la combinación de un diferencial de $f \mathrm{d}g$ $v$ produce la derivada direccional $f \nabla_v g$.

O en la notación donde se representan las direcciones con la derivada parcial de los operadores (por ejemplo,$\partial / \partial x$, en un contexto significativo), la combinación de $f \, \mathrm{d}g $ $\partial / \partial x$ da $f \partial g/\partial x$.

Answer 5

Una manera útil de entender cualitativamente el diferencial de la forma de su profesor estaba usando es el siguiente:

El total exacto, diferencial dy representa un pequeño cambio en la función y, que en este caso depende de las "variables" u y x. (El hecho de que u no es en realidad una variable independiente no importa para la ilustración). Por lo tanto, el diferencial total cambio en y debe surgir a partir de pequeños cambios en la x, u, o ambos. La contribución de cada uno de estos pequeños cambios (dx du), para el total de la diferencial dy dependerá de la forma específica de la función y .. en tu caso es simplemente la multiplicación, $y=ux$, por lo que el diferencial total es sólo $dy=udx + xdu$. En el típico cálculo de estilo, implícita en esta justificación es el punto de que la real magnitud de dx du debe ser lo suficientemente pequeño que los valores de las variables x y u son de izquierda esencialmente sin cambios (y por lo tanto puede ser utilizado de manera significativa en la ecuación de la diferencial total).

Ahora bien, esta explicación de curso ignora los detalles de las posibles relaciones entre u y x, como en su caso, donde u es una función de x. Que va a cambiar los detalles de cómo los diferenciales debe ser expresado matemáticamente, pero el significado subyacente de la diferencial total sigue siendo el mismo: con el fin de calcular el total de cambio en y, se debe tener en cuenta las contribuciones de los cambios en todos los "parámetros" (es decir, independientes de las variables o funciones de las variables) en la que y depende.