Propagador del oscilador armónico

Question

Estoy leyendo el libro sobre Teoría Cuántica de Campos de Anthony Duncan, y estoy un poco perdido con algo de los propagadores.

Primero define el propagador $K(q_f,T;q_i,0)$ como la amplitud de detección de una partícula que inicialmente estaba a $q_i$ en el momento 0 en otro lugar $q_f$ en algún momento t, es decir

$$K(q_f,t;q_i,o) = <q_f | e^{-iHt} |q_i>$$

Y luego para el oscilador armónico simple:

$$H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}mw^2 q^2$$

Dice que el propagador satisface la ecuación diferencial:

$$i \frac{\partial}{\partial t} K(q_f,t;q_i,0) = -\frac{1}{2m}\frac{\partial^2 K(q_f,t;q_i,0)}{\partial q^2_f} + \frac{1}{2}mw^2 q_f^2 K(q_f,t;q_i,0)$$

Y no tengo ni idea de dónde viene esa ecuación. Supongo que es una ecuación como la de Schrodinger, pero $K$ es una amplitud no un estado ket así que estoy perdido.

¿Alguien tiene alguna pista?

Answer 1

El elemento de la matriz $\langle x |\psi\rangle$ donde $x$ se permite variar es sólo la función de onda

$$\psi(x) = \langle x |\psi\rangle.$$

Por tanto, el elemento de la matriz $\langle x |p|\psi\rangle$ es sólo la representación de la función de onda del estado $p|\psi\rangle$ . Sabemos que el operador de momento en la representación de la función de onda actúa como una derivada, por lo que

$$\langle q_f |p|\psi\rangle = -i\frac{\partial}{\partial q_f}\psi(q_f).$$

También $|q_f\rangle$ es un estado propio del $q$ (que es autoadjunto), por lo que

$$\langle q_f |q|\psi\rangle = q_f \,\psi(q_f).$$

Ahora para mostrar la ecuación diferencial que estás buscando sólo tienes que tomar $|\psi\rangle=e^{-iHt}|q_i\rangle,$ y aviso

$$i\frac{\partial}{\partial t}\langle q_f|\psi\rangle = \langle q_f|H|\psi\rangle = \frac{1}{2m}\langle q_f|p^2|\psi\rangle + \frac{1}{2}m\omega^2 \langle q_f|q^2|\psi\rangle.$$

Ahora aplica las identidades anteriores dos veces.