Universalidad de las funciones zeta y L

Question

Teorema de universalidad de Voronin (para la función zeta de Riemann) según Wikipedia: Sea $U$ sea un subconjunto compacto de la "semirrecta crítica" $\{s\in\mathbb{C}:\frac{1}{2}<Re(s)<1\}$ con complemento conectado. Sea $f:U \rightarrow\mathbb{C}$ sea continua y no evanescente en $U$ y holomorfas en $U^{int}$ . Entonces $\forall\varepsilon >0$ $\exists t=t(\varepsilon)$ $\forall s\in U: |\zeta(s+it)-f(s)|<\varepsilon $ .

(P1) ¿Es éste el enunciado correcto del Teorema de Universalidad de Voronin? En caso afirmativo, ¿hay alguna (reciente) generalizaciones de esta afirmación con respecto a, digamos, la forma de $U$ o condiciones sobre $f$ ? (Si no me equivoco, el teorema data de 1975).

(P2) Históricamente, ¿fueron la función zeta de Riemann y las funciones L de Dirichlet los primeros ejemplos de funciones en el plano complejo con tal "universalidad"? ¿Existen ejemplos de funciones (en el plano complejo) con tales propiedades más allá de la teoría de las funciones zeta y L?

(P3) ¿Existe algún argumento general conocido por el que tales funciones (sobre $\mathbb{C}$ ) "debe" existir, es decir, ¿en el sentido de una prueba no constructiva de existencia? (considerándose la función zeta de Riemann como una prueba de existencia por construcción).

(P4) ¿Se sabe algo sobre la estructura de la clase de funciones con tal propiedad de universalidad, digamos, en alguna franja dada del plano complejo?

(P5) ¿Existen ejemplos similares cuando se trata de $C^r$ -de algún subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ en $\mathbb{R}^m$ ?

Gracias de antemano y ¡Feliz Año Nuevo!

Answer 1

Como creo que Jonas Meyer ya ha respondido a la primera pregunta, permítanme que me refiera a las demás: El concepto de universalidad es mucho más antiguo. De hecho fue introducido por Birkhoff, en el caso de funciones enteras, en 1929 (y por eso las funciones universales se llaman a veces funciones de Birkhoff) "Demonstration d'un theoreme elementaire sur les fonctions entieres." y por Heins, en el caso de holomorfías acotadas en el disco unidad, en 1955.

Una posible referencia es "Universal functions in several complex variables" de P.S. Chee.

Answer 2

Q1) A mí me parece bien :-)

P2) Sí, las funciones zeta y Dirichlet L fueron las primeras. Hay ejemplos, creo que cualquier función de la clase Serlberg satisface la universalidad. Hay una amplia conjetura de Linnik en el sentido de que beaucoup de las series de Dirichlet satisfacen la universalidad (no recuerdo la conjetura exacta).

P3) Sí, ésta es la idea general. Para demostrar la universalidad de $\zeta(s)$ se demuestra que (para $\sigma$ ) la tupla $(\zeta(\sigma + i t), \zeta'(\sigma + i t), ..., \zeta^{(k)}(\sigma + i t))$ es denso en $\mathbb{C}^{k}$ . Así, dada una analítica $f$ se puede aproximar a la primera $k$ en la expansión en serie de Taylor de $f(s)$ por el primer $k$ términos de la expansión de Taylor de $\zeta(s)$ cuando $s$ está cerca de $\sigma + i T$ para algunos $T$ muy grande. Por lo tanto, con esta aproximación se espera que $|f(s) - \zeta(s)| $ es uniformemente pequeño para $s$ cerca de $\sigma + i T$ para algunos $T$ muy grande. Por supuesto este no es todo el argumento, porque no utilizó la no evanescencia de $f$ pero esta es la idea esencial. Así que, en general, necesitas la densidad conjunta de las derivadas de tu función para demostrar su universalidad (pero deberías consultar el estudio de Matsumoto :-)).

P4) ¡Podría ser muy interesante! Es la primera vez que oigo formular la pregunta... Pero recuerde: ¡no soy un experto en universalidad!

Creo que la gente del campo está (al menos en parte) trabajando en una eficaz versión de la universalidad (es decir $\varepsilon$ cómo de grande $T = T(\varepsilon)$ que debes tomar? Por supuesto "lo suficientemente grande" pero queremos saber $T$ explícitamente en términos de $\varepsilon$ ). Como tema de investigación, creo que es algo en lo que se puede trabajar bastante rápido (es decir, sin una preparación exhaustiva).

Answer 3

Para (Q4): No soy especialista en el campo de las funciones universales, pero creo que lo que busca son más bien colectores de funciones universales. Busca en Google colectores de funciones universales de Birkhoff. Hay muchos resultados interesantes sobre este tema.