¿Es continuo un operador lineal si su núcleo es cerrado?

Question

Sea $T$ sea un operador lineal entre dos espacios normados de dimensión infinita $X$ y $Y$ cuyo núcleo es un subconjunto cerrado de su dominio.

¿Implica que $T$ ¿está acotado o no es necesario?

En caso afirmativo estaría muy agradecido si se pudiera mencionar la prueba.

En caso negativo, sería mejor que se proporcionara un contraejemplo.

Answer 1

La respuesta de Saucy O'Path parece correcta, pero quizá los derivados den un contraejemplo más familiar. Sea $$ Af(x)=f'(x), \qquad f\in C^1([0, 1]) $$ denotan un operador lineal $A\colon C^1\subset L^2\to L^2$ . Este operador no es continuo; por ejemplo, $$ \lVert \sin(2\pi n\cdot)\rVert_2=\sqrt{\frac{\pi}{2}},\quad \forall n\in\mathbb N,\ \text{ but }\lim_{n\to \infty}\lVert A\sin(2\pi n\cdot) \rVert_2=\infty.$$ Sin embargo, el núcleo de $A$ consiste en el subespacio de funciones constantes, que es cerrado en $L^2$ . (Prueba: si una sucesión de constantes es Cauchy con respecto a la $L^2(0,1)$ norma, entonces es Cauchy como una secuencia de constantes, por lo tanto converge a un límite constante).

Answer 2

Eso implicaría que todos los operadores lineales inyectivos son continuos, lo cual no es cierto. A saber, extender la base canónica de Hilbert $\{e_i\}_{i\in\omega}$ de $\ell^2$ a una base $\{e_i\}_{i\in\beth_1}$ y considerar el único mapa lineal $T:\ell^2\to\ell^2$ tal que $T(e_i)=e_i$ para todos $i\in\omega$ y $T(e_i)=2e_i$ para todos $i\in\beth_1\setminus\omega$ . Dado que envía una base a otra base, es biyectiva. Sin embargo, concuerda con $id$ en un subconjunto denso sin ser $id$ sí mismo.