una pregunta rápida sobre un producto de dos números algebraicos

Question

Sea $P$ sea un polinomio racional de grado $n$ con raíces $z_1,\dots,z_n\in\mathbb{C}$ .

¿Es cierto que cualquier producto de dos de los números $z_1,\dots,z_n$ es también una raíz de polinomio racional de grado como máximo $n$ ?

Answer 1

Sea $n=5$ para el polinomio $P (z)=(z^3-2)(z^2-2)$ y $z_1=\sqrt[3]{2}$ , $z_2=\sqrt{2}$ . Entonces el polinomio mínimo para $z_1z_2=\sqrt[6]{32}$ es $z^6-32$ .