¿Los espacios de bucle como espacios lisos generalizados o como variedades de dimensión infinita?

Question

Hay dos formas de definir espacios cartográficos suaves y quiero saber cómo se comparan.

Tomemos el caso especial concreto de los espacios de bucles libres. Creo que es el ejemplo más estudiado, por lo que probablemente será el que tenga más posibilidades de respuesta. A grandes rasgos, el espacio de bucles libres es un espacio que se supone que es el espacio de los mapas del círculo a un espacio dado X. Se suele denotar LX. Todo esto está muy bien para los espacios topológicos. Se obtiene un bonito espacio de mapas LX equipando el conjunto de mapas con la topología abierta compacta generada de forma compacta. Incluso satisface la adjunción:

$ Map(Y, LX) = Map( Y \times S^1, X)$

Sin embargo, las cosas se complican cuando queremos trabajar con colectores. Lo primero es que queremos algo que represente suave mapea desde el círculo a la variedad X.

Existen básicamente dos enfoques para hacer que un objeto de este tipo sea preciso, y quiero saber cómo se comparan.

El primer enfoque trata de construir un espacio real de mapas suaves. Aquí se parte del conjunto de mapas suaves LX, y con músculo analítico se le da la estructura de una variedad de Fréchet de dimensión infinita. Cuando X = G es un grupo de Lie, se trata de un grupo de Lie de dimensión infinita, cuyas representaciones (proyectivas) aparecen en la teoría del campo conforme.

El segundo enfoque consiste en estudiar el espacio de bucles como un espacio liso generalizado. ¿Qué es un espacio liso generalizado? Bueno, se discutió mucho sobre ello en el N-category Cafe, aquí y aquí . A grandes rasgos, LX se considera una especie de gavilla mediante la fórmula:

$LX(Y) = Maps(Y, LX) = Maps(Y \times S^1, X)$

En algunos modelos debe ser una gavilla concreta (es decir, tiene un conjunto subyacente de puntos y cada mapa desde ella a cualquier otra cosa que sea concreta es un mapa de conjunto concreto. Los detalles técnicos aparecen en el artículo de Baez-Hoffnung del segundo enlace). Es evidente que este modelo tiene sus propias propiedades deseables.

¿Qué diferencia hay entre la versión de espacio de bucles en colectores y la versión teórica de gavillas?

Es de suponer que el modelo de colector de Fréchet da una gavilla (ya que podemos hacer un mapa dentro de él). ¿Coincide esto con la gavilla definida por la fórmula de la adjunción? Si no son la misma gavilla, parece que tienen los mismos puntos, ¿no? Y creo que hay un mapa de comparación del colector LX a la gavilla LX, que debería ser útil. ¿Alguien puede explicar su relación? ¿Cómo de similares/diferentes son?

Answer 1

Son iguales.

Si quiere conocer todos los detalles, lea "A Convenient Setting of Global Analysis", de Kriegl y Michor (disponible en PDF gratuito en la librería de la AMS). Para un enfoque más suave, lea mis apuntes del seminario en línea "The Differential Topology of Loop Spaces". Michor también ha escrito bastante sobre los manifolds de mappings, y yo también he escrito el artículo de impar sobre ellos.

Pero básicamente, la estructura del colector en $LM$ es la estructura "correcta" para que la ley exponencial:

$$ C^\infty(N \times S^1,M) \cong C^\infty(N, LM) $$

retenciones.

Acabo (hoy, pero antes de que publicaras esto) de empezar espacio de bucle liso con la intención de copiar en el nLab algunos de mis apuntes del seminario y otras rarezas. Si hay algo que te interese especialmente, dímelo y así me animaré a ponerme manos a la obra.

PD: Me he dado cuenta de que has elegido los bucles como ejemplo . Para el caso más general de la ley exponencial, debería leer el libro de Kriegl y Michor. Básicamente, funciona bien cuando el objeto que se exponentiza es un compacto múltiple. Para los colectores no compactos hay que utilizar una estructura diferente que es un poco más extraña.

Answer 2

Andrew tiene razón Permítanme que modifique mi punto de vista personal, según el cual las variedades lisas generalizadas son espacios difeológicos.

La estructura de colector de Fréchet de LX coincide con la difeología de LX en el sentido siguiente.

Existe un functor $$F: Frech \to Diff$$ de las variedades de Fréchet a los espacios difeológicos definidos del mismo modo que el conocido functor $M: Man \to Diff$ de las variedades lisas a los espacios difeológicos: un trazado es precisamente un mapa liso $c: U \to LX$ donde $U$ es un objeto de la categoría de dominio, por ejemplo, un subconjunto abierto de algún $\mathbb{R}^n$ .

(Por cierto: un teorema de M. Losik dice que el functor $F$ es completo y fiel, al igual que el functor $M$ !)

Ahora hay dos difeologías en LX: la primera es la descrita en la pregunta de Chris. Un mapa $c:U \to LX$ es una trama si y sólo si el mapa asociado $U \times S^1 \to X$ es suave. La segunda difeología es la que se obtiene del functor $F$ .

Estas dos difeologías coinciden en el sentido de que cada parcela de una es una parcela de la otra. En particular, tienen los mismos conjuntos de funciones suaves.

Si quieres ver la prueba de un peatón anuncio el Lemma A.1.7 en mi artículo "Transgresión a los Espacios de Bucles y su Inverso I".