Supongamos que $X$ es una superficie proyectiva algebraica compleja con un lugar singular unidimensional. Por ejemplo, consideremos la hipersuperficie $z^5=t^2(tx^2+y^3+t^3)$ cuyo lugar singular está a lo largo de la línea doble $t^2=0$ en $\mathbb{P}^2$ con una singularidad especial sobre el punto de intersección de $t=0$ y la curva elíptica $tx^2+y^3+t^3=0$ . ¿Cómo se puede calcular la normalización de una superficie de este tipo? Tengo la sensación de que en el ejemplo anterior (pensado como quinta cubierta de $\mathbb{P^2}$ ), la superficie normalizada tiene singularidad sobre el punto de intersección de los loci de ramificación y localmente tiene el aspecto de $z^5=t(tx^2+y^3+t^3)$ . Sin embargo, no soy capaz de respaldarlo con ningún razonamiento concreto. ¿Puede alguien indicarme cómo normalizar estas superficies? Intuitivamente tengo claro que la normalización del ejemplo anterior no es una hipersuperficie, sin embargo lo que busco es una descripción precisa de la normalización cerca de sus puntos singulares aislados.
Respuesta
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Sea $f = t x^2 + y^3 + t^3$ sea la ecuación de la curva elíptica, de modo que su hipersuperficie tiene ecuación $z^5 = t^2 f$ .
Cuando se tiene una ecuación entre monomios como ésta, siempre hay algunos elementos de la normalización que son fáciles de escribir. En este caso, se tiene el elemento $w := z^3/t$ . Tenga en cuenta que $w^2 = z f$ (lo que demuestra que $w$ se encuentran en la normalización) y $w^5 = t f^3$ .
Si no estoy calculando mal, esto demuestra que al unir el elemento $w$ haces que tu superficie sea no-singular en todas partes donde $f \neq 0$ y ya era distinto de cero en la región $t \neq 0$ así que colindante $w$ es suficiente para reducir el lugar singular a la intersección de $f = 0$ y $t= 0$ .
Por desgracia, no tengo suficiente práctica en este tipo de cálculos como para ir más allá.
