Estadísticos suficientes para una distribución discreta

Question

Sea { $X_1, X_2,...,X_n$ } sea una muestra aleatoria de una población con la siguiente pmf

$$f(x|\theta,p)= \left\{ \begin{array}{lcc} (1-p)p^{x-\theta} & x=\theta, \theta+1,... \\ \\ 0 &\mbox{ otherwise}, \\ \\ \end{array} \right.$$ donde $\theta$ es un número entero positivo y $0<p<1$ ambos son desconocidos. Hallar un estadístico suficiente para el vector de parámetros $(\theta,p)$ .

Mi enfoque

Factorización de Neyman-Fisher $$ f_X(x|\theta, p) = \prod_{i=1}^n (1-p)p^{x_i-\theta} = (1-p)^{n} p^{\sum_{i=1}^n x_i-n\theta} I_{(x_i \in {\theta,\theta+1,... })}. $$ Esto se puede escribir $$ f_X(x|\theta,p) = g(T_1(x),T_2(x);\theta,p)\, h(x) \, , $$ donde $g(T_1(x),T_2(x))=p^{\sum_{i=1}(x_i-n\theta)}$ y $h(x) = (1-p)^n$ lo que demuestra que $(X_{(1)},\sum_{i=1}^n X_i)$ es una estadística suficiente para el parámetro $(\theta,p)$ .

¿Es correcto lo anterior? ¿Qué me falta?

Answer 1

Tu resultado es correcto, pero el tratamiento de los indicadores en el trabajo es erróneo, y has desordenado las cosas más de lo necesario. Sería mucho más sencillo escribir la función de verosimilitud en términos de la media muestral $\bar{x} = \sum_i x_i /n$ y el mínimo de la muestra $x_{(1)}$ . Para todos $\mathbf{x} \in \mathbb{N}^n$ podemos escribir la función de verosimilitud como:

$$L_\mathbf{x}(p, \theta) = (1-p)^n \cdot p^{n(\bar{x} - \theta)} \cdot \mathbb{I}(x_{(1)} \geqslant \theta).$$

Cada término de esta factorización contiene al menos uno de los parámetros $p$ y $\theta$ por lo que no podemos eliminar ninguno de los términos de una función $h(\mathbf{x})$ . Por lo tanto, la estadística suficiente para $(p, \theta)$ es $(\bar{x}, x_{(1)})$ . Si lo prefiere, puede utilizar el total de la muestra para decir de forma equivalente que $(n \bar{x}, x_{(1)})$ es suficiente.