Número de subgrupos en un grupo Bieberbach.

Question

Supongamos que $\Gamma$ sea un grupo de Bieberbach que actúa sobre $\mathbb R^n$ (es decir, un subgrupo discreto de isometrías de $n$ -euclidianas con un dominio fundamental compacto). Denotemos por $M(\Gamma)$ el número de subgrupos finitos máximos (hasta conjugación) en $\Gamma$ . ¿Es cierto que $M(\Gamma)\le 2^n$ ?

Cosas que puedo hacer: Hay una simple observación geométrica (debida a Perelman) que muestra que si $N(\Gamma)$ es el número de órbitas de punto fijo aislado de algunos subgrupos de $\Gamma$ entonces $N(\Gamma)\le2^n$ . Evidentemente, cada uno de estos puntos corresponde a un subgrupo finito maximal. Por lo tanto, $N(\Gamma)\le M(\Gamma)$ , pero en todos los ejemplos que conozco sigo tengo $M(\Gamma)\le 2^n$ (y creo que siempre es cierto).

La formulación es completamente algebraica por lo que tal vez tenga un efecto completamente algebraica...

Answer 1

Dima, no puedo escribir un comentario (todavía) así que voy a empezar una respuesta a mi propia pregunta.

Puede suponer que $\Gamma$ actúa por isometrías, por lo que $A=\mathbb R^n/\Gamma$ es un espacio de Alexandrov. Para cada subgrupo maximal $F$ se puede tomar su conjunto de puntos fijos $S_F$ en $\mathbb R^n$ . $S_F$ es un subespacio (afín) y la imagen (digamos $E_F$ ) en $\mathbb R^n/\Gamma$ es un conjunto singular (el llamado subconjunto extremo de Alexandrov de Alexandrov). La maximalidad de $F$ implica que $E_F$ no contiene conjuntos extremos (un subconjunto menor está fijado por un grupo mayor). (De hecho $E_F$ es una variedad plana y su vecindad isométrica es para un producto $E_F\times Cone$ .)

Así que la cuestión se reduce a encontrar el número máximo de tales extremos en $A$ . Un caso particular de estos conjuntos son los puntos singulares aislados. El teorema de Perelman establece que el número de "conjuntos extremos de un punto" en un espacio de Alexandrov con curvatura $\ge 0$ es como máximo $2^n$ . La prueba repite una prueba del problema de Erdős: si se tiene $m$ puntos en $\mathbb R^n$ tal que todos los ángulos de todos los triángulos $\le \pi/2$ entonces $m\le 2^n$ . Tomamos homotecia con coeficiente 1/2 para cada punto, entonces las imágenes del casco convexo no tienen puntos internos comunes (de lo contrario se produciría un ángulo obtuso), entonces comparando el volumen del casco convexo y sus imágenes se obtiene estimación del número de puntos.

Answer 2

Eso no es una respuesta. Quiero dar un ejemplo en el que el argumento de Erdős no funciona directamente.

Consideremos una acción de grupo $\Gamma$ en $\mathbb R^3$ generada por las reflexiones $r_1, r_2$ y $r_3$ correspondientemente en las líneas $x=z=0$ y $x+1=z=0$ y $x-y=z-1=0$ .

Cada una de las reflexiones $r_i$ generar un maxiamal $\mathbb Z_2$ -subgrupos, todos ellos son no conjugados. Estos grupos corresponden a tres círculos singulares, a saber $\Sigma_i$ en el factor $X=\mathbb R^3/\Gamma$ . ( $X$ es homeomorfo a $S^3$ y $\Sigma_1$ , $\Sigma_2$ , $\Sigma_3$ forman anillos borromeo, pero todo esto no es importante).

Intentemos imitar el argumento de Erdős. Tomemos subconjuntos $X_i$ de $X$ de puntos medios $m$ entre $x\in X$ y una más cercana $x_0\in\Sigma_i$ a $x$ . Como en el argumento de Erdős tenemos $\mathrm{vol}\, X_i>\tfrac{1}{2^3}\cdot\mathrm{vol}\, X$ . PERO $X_1\cap X_3$ tiene puntos interiores y aquí el argumento se rompe en partes.

Comentarios

• Como los conjuntos de punto fijo son unidimensionales, bastaría con tomar $m\in [xx_0]$ tal que $\tfrac{|mx_0|}{|xx_0|}=\tfrac1{2\sqrt[3]{2}}$ . Pero incluso en este caso se tienen puntos interiores en $X_1\cap X_2$ (el límite en este ejemplo parece ser $\tfrac13$ ).

• Existe un hiperplano bisectriz natural para dos subespacios afines cualesquiera. Podemos utilizarlo para cortar un dominio cilíndrico alrededor de cada conjunto de puntos fijos de un subgrupo maximal. La proyección de estos cilindros en $X$ da dominios similares a Voronoi, pero no cubren todo el espacio en general --- eso está bien en la medida en que tenemos límite inferior en sus volúmenes ...