Cohomología equivariante de órbitas nilpotentes

Question

Sea $\mathfrak{g}$ sea un álgebra de Lie simple sobre $\mathbb{C}$ y que $N$ sea una órbita nilpotente de $\mathfrak{g}$ . Cuál es la cohomología equivariante de su cierre, $H^*_G(\overline{N})$ con respecto al grupo $G$ para $\mathfrak{g}$ ?

También, $H^*_G(\overline{N})$ tiene un "producto interno" natural que toma valor en el campo cociente $S$ de $H^*_G(pt)$ definida mediante la integración equivariante. También sería bueno conocer esta estructura.

Me alegraría conocer la respuesta para la órbita mínima nilpotente para el simplemente enlazado $\mathfrak{g}$ .

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Permítanme exponer los antecedentes de mi pregunta. Permítanme $H^*_G(pt)=\mathbb{C}[t_1,\ldots,t_r]$ para que $t_1$ tiene grado 2, ..., $t_r$ tiene grado $h^\vee$ ( $r$ es el rango de $\mathfrak{g}$ . En $\mathrm{Spec} H^*_G(pt)= \mathfrak{h}/W$ la métrica plana estándar en $\mathfrak{h}$ determina una métrica en $\mathfrak{h}/W$ que denotamos por $\langle .,. \rangle$ . Obsérvese que el campo vectorial $\partial/\partial t_r$ es única hasta una multiplicación escalar. Entonces, $\langle \partial/\partial t_r,\partial/\partial t_r\rangle$ determina una función racional sobre $\mathfrak{h}/W$ es decir, un elemento de $S$ (único hasta una multiplicación escalar).

Sea $N$ sea la órbita mínima nilpotente de un lazo simple $\mathfrak{g}$ . Mis colaboradores y yo calculamos $\int_{\overline{N}} 1$ . E igualó $\langle \partial/\partial t_r,\partial/\partial t_r\rangle$ .

Esto sugiere que $H^*_G(\overline{N})$ tiene una base natural correspondiente a $\partial/\partial t_i$ y el producto interior dado por la integral equivariante es igual a $\langle.,.\rangle$ .

¿Es algo conocido en la literatura?

Answer 1

En primer lugar, puesto que $\overline N$ es contractible su cohomología equivariante es la misma que para $pt$ . El par de Poincare está determinado unívocamente por $\int_{\overline N} 1$ (ya que es lineal con respecto a $H^*_G(pt)$ ).

Más precisamente, cualquier clase cohomológica de $\overline N$ tiene la forma $\alpha\cdot 1$ donde $\alpha$ es una clase cohomológica equivariante de $pt$ y $1$ denota la clase de cohomología unitaria en $\overline N$ y tenemos $$ \langle \alpha\cdot 1,\beta\cdot 1\rangle =\alpha\beta\int_{\overline N} 1. $$

No conozco una buena forma de calcular $\int_{\overline N} 1$ para arbitraria $N$ - aparte de sustituir $\overline N$ mediante una resolución y utilizando la localización del punto fijo.

Por cierto, si $\overline N$ es la órbita mínima, entonces ${\mathbb C}^2\times {\overline N}$ es el mismo que el espacio de Uhlenbeck de $\mathbb C^2$ de segunda clase de Chern 1 - eso debería darte otra forma de calcular esa integral (¿es obvio que obtienes la misma respuesta?)