¿Es la raíz infinita de cualquier número igual a $1$ ?

Question

Estaba jugando en el IRB y decidí hacer un $n^{th}$ función de la raíz y noté que para raíces muy grandes de números, la respuesta siempre converge a $1$ . Hace tiempo que no hago ningún trabajo con series infinitas, pero ¿podría alguien explicarme por qué es así, u ofrecer una prueba? (Lo más parecido que se me ocurre es la prueba de $.9$ repetir la igualación $1$ )

Answer 1

Tal vez la forma más fácil de ver (suponiendo que $a>0$ ) que $\sqrt[n]a$ converge a $1$ como $n\to\infty$ es mirar el logaritmo: $$\log\sqrt[n]a=\log a^{1/n}=\frac1n\log a\;.$$ Tomando $n$ lo suficientemente grande, se puede hacer claramente $\frac1n$ tan pequeño como quieras, así que también puedes hacer $\frac1n\log a$ tan pequeño como quieras: para un $a>0$ , $\log a$ es un número real fijo, una constante.

Así, el logaritmo de $\sqrt[n]a$ se acerca a $0$ como $n$ aumenta. Pero esto significa que $\sqrt[n]a$ mismo debe estar acercándose $1$ los únicos números cuyo logaritmo es $0$ .

(Por cierto, en realidad no tiene sentido hablar de "raíz infinita"; realmente hay que hablar de convergencia o límites, como has hecho en la pregunta propiamente dicha).

Answer 2

Escriba $a = 1 + b$ . Si recuerdas el teorema del binomio, $(1 + b/n)^n = 1 + b + $ algunos otros términos positivos. Así que el $n$ raíz de $1 + b$ va a ser menor que $1 + b/n$ . Pero como $1^n = 1 < 1 + b$ tiene que el $n$ raíz de $1 + b$ es mayor que $1$ . Así que tienes $$1 < (1 + b)^{1 \over n} < 1 + b/n$$ Como $n$ va al infinito, $1 + b/n$ va a $1$ por lo que por el teorema de squeeze se tiene $$\lim_{n \rightarrow \infty} (1 + b)^{1 \over n} = 1$$

Answer 3

Utilizo los siguientes teoremas:

Si $\{ x_n \}_{n \in \Bbb N}$ es una secuencia de números reales monótonamente creciente (decreciente) $\Bbb R$ y está acotado por arriba (por abajo) entonces $\{x_n\}_{n \in \Bbb N}$ converge.

Definimos $x_n = a^{1/n}$ Tenemos que $a>0$ . Tenemos que analizar dos casos $a<1$ y $a>1$ .

En aras de la brevedad, trabajaré simultáneamente en ambos casos:

$$ a \text{ }{> \choose <}\text{ }1$$

Elevamos al poder de $n$ .

$$ { a }^{\frac 1 n}=x_n \text{ }{> \choose <}\text{ }1$$

Esto significa que si $a>1$ la secuencia está limitada desde abajo por $1$ y si $a<1$ está limitada desde arriba por $1$ .

El siguiente paso es demostrar que

$$x_{n+1} \text{ }{< \choose >}\text{ }x_n$$

Esto no es riguroso, pero tenga en cuenta que

$${a^{{1 \over {n + 1}}}} \text{ }{< \choose >}\text{ }{a^{{1 \over n}}} \Leftrightarrow {a^{{n \over {n + 1}}}} \text{ }{< \choose >}\text{ } a \Leftrightarrow {a^{1 - {1 \over n}}} > a \Leftrightarrow {a^{ - {1 \over n}}} \text{ }{< \choose >}\text{ } 1 \Leftrightarrow {a^{{1 \over n}}} \text{ }{> \choose <}\text{ } 1 \Leftrightarrow a \text{ }{> \choose <}\text{ } 1$$

Así que es el hecho de que $a<1$ o $a>1$ que produce todos los resultados necesarios. Ahora sabemos que la secuencia converge, por lo que todas sus sucesiones son convergentes. Por tanto,

$$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {x_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {x_{2n}} \cr & \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a^{{1 \over n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a^{{1 \over {2n}}}} \cr & \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a^{{1 \over n}}} = {\left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a^{{1 \over n}}}} \right)^{{1 \over 2}}} \cr & L = {L^{{1 \over 2}}} \cr} $$

De esto se desprende que $L=0$ o $L=1$ . Pero no puede ser $L=0$ (¿por qué?), por lo que es $L=1$ .

Answer 4

La raíz infinita de $1$ está infinitamente cerca de $1$ pero no igual a $1$ . De hecho, se puede expresar $\pi$ mediante la siguiente fórmula utilizando la raíz infinita: $$\pi=\frac{\infty\sqrt[\infty]{-1}-\infty}{\sqrt{-1}}.$$