Convergencia uniforme de la composición de n pliegues mediante el lema de Schwarz

Question

Sea $f$ sea una función analítica que cartografíe el disco unitario $\mathbb D$ a sí mismo con $f(0) = 0$ y $|f'(0)| < 1$ . Sea $f^{n} = f \circ f \circ \dots \circ f$ sea la función obtenida al componer $f$ consigo mismo $n$ -veces. Demostrar que $f^n \rightarrow 0$ uniformemente en subconjuntos compactos de $\mathbb D$ .

Mi intento:

Todo subconjunto compacto estará contenido en una bola cerrada $\overline B(0, R)$ con $R < 1$ por lo que basta con demostrar la convergencia uniforme en $\overline B(0,R)$ . Por el principio del módulo máximo y el lema de Schwarz,

$|f(z)| \leq R$

para cada $z \in \overline B(0, R)$ . Además, por el lema de Schwarz, la secuencia $f^n(z)$ es decreciente para cada $z \in \overline B(0,R)$ . La cuestión es que el límite de la secuencia $R$ no disminuye a 0 a medida que $n \rightarrow \infty$ . Supongo que necesito usar la condición $|f'(0)| < 1$ para conseguir un atado más apretado, pero no sé a dónde ir desde aquí.

Answer 1

Como ya ha observado usted mismo, $|f^n(z)|$ disminuye en $n$ para cada $z\in D$ . Además, $f^n(z)$ se acercará a un límite a lo largo de una subsecuencia, y este límite sólo puede ser cero, por el mismo argumento (y por lo tanto pasar a una subsecuencia era innecesario).

Así que $f^n\to 0$ puntualmente, pero estas funciones también forman una familia normal, por lo que de hecho $f^n\to 0$ localmente de manera uniforme.

Answer 2

Pista: De hecho, el lema de Schwarz implica que $|f(z)| < |z|$ para $z\ne 0,$ a menos que $f$ es una rotación.