Positividad de la energía de Coulomb para medidas gerenales

Question

Supongamos que $\nu$ es una medida con signo compactamente soportada en $\mathbb R^{n\geq 3}$ .

Mi pregunta:

¿La energía de Coulomb sigue siendo positiva?

Más concretamente $$\iint \frac{1}{\|x-y\|^{n-2}}d\nu(x)d\nu(y)\geq 0\ ?$$

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Gracias, señor.

Answer 1

La respuesta es sí, al menos cuando la energía de $|\nu|$ es finita, por lo que la energía de $\nu$ está bien definida. La positividad puede demostrarse mediante la transformada de Fourier del potencial de Coulomb y aplicando el Teorema de Plancherel. Véase, por ejemplo, "Fourier Analysis and Hausdorff Dimension" de Pertti Mattila, sección 3.5 página 39. Encontrará que $$ \iint_{\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n} \frac{d\nu(x)d\nu(y)}{|x-y|^{n-2}} = c\int_{\mathbb{R}^n} \frac{|\widehat{\nu}(k)|^2dk}{|k|^2}, $$ donde c es una constante dimensional positiva.