Probabilidad de que una variable aleatoria sea la mayor entre otras

Question

Tengamos $N$ variables aleatorias generadas por una distribución uniforme. Es decir, $$u_i \sim \mathcal{U}(0,1),\quad i=1,\ldots,N$$ .

¿Cuál es la probabilidad de $u_N$ siendo el más grande? Es decir, ¿cómo puedo calcular $$p\Big(u_N\geq \max(u_1,u_2,\ldots,u_{N-1})\Big)$$

Answer 1

[mal] $$P(max(u_1, \ldots, u_{N-1}) \leq u_N) = P(\cap_{i = 1}^{N-1} (u_i \leq u_N)) = \prod_{i = 1}^{N - 1} P(u_i \leq u_N) = P(u_1 \leq u_N)^{N - 1} = \frac{1}{2^{N - 1}}$$ [\wrong]

Como se ha señalado en los comentarios, este es el planteamiento equivocado. Lo siento, resolver problemas de probabilidad a altas horas de la noche es malo para la reputación :P.

Sea $A_i$ sea el acontecimiento que $max(u_1, \ldots, u_{i-1}, u_{i+1}, \ldots, u_N) < u_i$ . En $A_i$ son disjuntos por diseño y por simetría, todos los $A_i$ tienen la misma probabilidad. Por lo tanto $P(A_N) = \frac{1}{N}$ .

Answer 2

Si el $u_i$ son independientes, la probabilidad es $\frac{1}{N}$ para cualquier distribución continua común a todos los $u$ 's.

Esto es obvio a partir de consideraciones básicas de simetría.

¿Son deberes?