¿Por qué puedo interpretar una variable dependiente transformada logarítmicamente en términos de cambio porcentual en una regresión lineal?

Question

Consultar recursos como éste y éste se ven afirmaciones como

"Exponencie el coeficiente, reste uno a este número y multiplicar por 100. Esto da el porcentaje de aumento (o disminución) en la respuesta por cada aumento de una unidad en la variable independiente. Ejemplo: el coeficiente es 0,198. (exp(0,198) - 1) * 100 = 21,9. En cada aumento de una unidad en la variable independiente, nuestra variable dependiente aumenta aproximadamente un 22%".

Esta fórmula para convertir coeficientes en cambios porcentuales parece haber salido de la nada. No entiendo por qué calcula un cambio porcentual.

Considere esta pregunta y la respuesta superior sólo indica el siguiente resultado que parece calcular lo mismo de una manera diferente:

log(DV) = Intercept + B1 * IV + Error 

"Una unidad de aumento de IV se asocia con un (B1 * 100) por ciento de en la VD".

Además, esta pregunta tiene una respuesta que dice

"tenga en cuenta que la interpretación de un "cambio unitario en un logaritmo" como "cambio porcentual" es una aproximación local".

Esto sólo me confunde más. ¿Por qué estas fórmulas sólo producen una aproximación?

Todo esto nos lleva a la pregunta... ¿Por qué puedo interpretar una variable dependiente transformada logarítmicamente en términos de cambio porcentual en una regresión lineal? (¿Y por qué es sólo una aproximación?)

Answer 1

Digamos que tenemos un modelo como este:

$$\log\hat y=\beta_0+\beta_1 x$$

Desde $\exp$ es la función inversa de $\log$ podemos hacerlo:

$$\hat y = f(x)=\exp(\beta_0+\beta_1 x)$$

Ahora bien, ¿qué ocurre cuando $x$ crece en 1? $f(x)$ se multiplica por $\exp(\beta_1)$ :

$$\begin{align} f(x+1)&=\exp[\beta_0+\beta_1(x+1)]\\ &=\exp(\beta_0+\beta_1 x)\cdot\exp(\beta_1)\\ &=f(x)\cdot\exp(\beta_1) \end{align}$$

Bien, ¿cuánto cuesta $f(x)$ crece en porcentajes ?

$$\left(\frac{f(x+1)}{f(x)}-1\right)\cdot100=(\exp(\beta_1)-1)\cdot100$$

Esto explica la fórmula para convertir los coeficientes en cambios porcentuales. Hasta aquí, no utilizábamos aproximaciones. Ahora, si $x$ es un número suficientemente pequeño, podemos aproximar $\exp(x)\approx1+x$ . Esta aproximación se denomina expansión de Taylor de primer orden de $\exp(x)$ en torno a $x=0$ . Si se sustituye esta aproximación por $\text{coefficients}\rightarrow\text{percent change}$ que encontramos antes, se obtiene:

$$\text{percent change}\approx100\cdot\beta_1$$

Así, cuando $\beta_1$ es un número pequeño, puede interpretarlo directamente como un cambio porcentual, pero tenga en cuenta que se trata sólo de una aproximación.