Mostrar $\vec{c} \in$ span $(\vec{a}, \vec{b})$ y expresar $\vec{c}$ como combinación lineal de $\vec{a}$ y $\vec{b}$

Question

Dados son los vectores $$\vec{a} = (11, -5, 10, 7)^T$$ $$\vec{b} = (14, -8, 13, 10)^T$$ $$\vec{c} = (19, -13, 18, 15)^T$$

Demuestre que el vector $\vec{c}$ es un elemento del subespacio vectorial abarcado por $\vec{a}$ y $\vec{b}$ es decir $\vec{c} \in$ span $(\vec{a}, \vec{b})$ . Express $\vec{c}$ como combinación lineal de $\vec{a}$ y $\vec{b}$ .

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Establecimiento de las ecuaciones

$$11a + 14b = 19$$ $$-5a - 8b = -13$$ $$10a + 13b = 18$$ $$7a + 10b = 15$$

Utilizando las ecuaciones segunda y tercera, obtengo $b = \frac{8}{3}$ y $a = - \frac{5}{3}$

Así que $-\frac{5}{3} \vec{a} + \frac{8}{3} \vec{b} = \vec{c}$

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¿Es suficiente para demostrar $\vec{c} \in$ span $(\vec{a}, \vec{b})$ y expresar $\vec{c}$ como combinación lineal de $\vec{a}$ y $\vec{b}$ ?

No estoy seguro de que esta "prueba" esté completa, ¿podría darme su opinión y sus comentarios?

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

Pasar de

Utilizando las ecuaciones segunda y tercera, obtengo $b = \frac{8}{3}$ y $a = - \frac{5}{3}$

a

Así que $-\frac{5}{3} \vec{a} + \frac{8}{3} \vec{b} = \vec{c}$

es lógicamente incorrecto. No se deduce que $-\frac{5}{3} \vec{a} + \frac{8}{3} \vec{b} = \vec{c}$ sólo por el hecho de que $a=-\frac53, b=\frac83$ resuelve la segunda y la tercera ecuación.*

Resolviendo la segunda y la tercera ecuación sólo se obtiene que si $a\vec a + b\vec b = \vec c$ , entonces $a=-\frac53, b=\frac83$ . Ahora, usted tiene que demostrar realmente que la recolección de $a=-\frac53, b=\frac83$ también garantiza que $a\vec a + b\vec b = \vec c$ y para ello basta con calcular $a\vec a + b\vec b$

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*Por ejemplo, si toma $\vec a=(0,1,0,0)^T$ y $\vec b=(0,0,1,0)^T$ y $c=(0,0,0,1)^T$ entonces el mismo procedimiento que hiciste daría como resultado $a=b=0$ pero debería ser obvio que $a\vec a + b\vec b\neq \vec c$ en este caso.