Un problema de permutaciones relacionado con las permutaciones de posiciones prohibidas (desvarío)

Question

Problema: Al entrar en una fiesta todo el mundo registra un abrigo y un bolso en la puerta.
A la salida, el encargado reparte abrigos y bolsas al azar. En cuántas maneras se puede hacer esto si " Uno puede tener su propio abrigo o su propio bolso, pero no ambos. "

Adjunto mi respuesta. No sé usar Mathjax, así que lo adjunto como archivo de imagen.

No estoy seguro de mi respuesta, y si mi respuesta es correcta, me pregunto si se puede simplificar más.

Answer 1

Seguro que hay muchas formas diferentes de expresar el resultado. No sigo su lógica para llegar a la respuesta que aparece en la imagen, pero aquí en cambio es mi lógica y solución.

Responda a la pregunta relacionada de " ¿De cuántas maneras pueden devolverse los abrigos y los bolsos de forma que al menos una persona recibe ambos su abrigo y su bolso "

Sea $A_i$ denotan el hecho de que esa persona $i$ recupera tanto su abrigo como su bolsa.

Intentamos contar $\left|\bigcup\limits_{i=1}^n A_i\right|$ .

Por inclusión exclusión y simetría: $\left|\bigcup\limits_{i=1}^n A_i\right| = \sum\limits_{i=1}^n (-1)^{i+1}\binom{n}{i}\left|\bigcap\limits_{k=1}^i A_k\right|= \sum\limits_{i=1}^n (-1)^{i+1}\binom{n}{i}((n-i)!)^2$

¿Por qué $\left|\bigcap\limits_{k=1}^i A_k\right|=((n-i)!)^2$ ? Si la primera $i$ todas las personas recuperan su abrigo y su bolso, entonces ya se conocen en el acuerdo. Lo que no se sabe es quién de los restantes $n-i$ personas recibieron qué abrigo y también quiénes de los restantes $n-i$ personas recibieron qué bolsa. Hay $(n-i)!$ formas de distribuir las capas restantes y luego otra $(n-i)!$ maneras de distribuir las bolsas restantes recordando que nos importa un bledo si alguna de las bolsas restantes $n-i$ la gente pasó a coger su abrigo o su bolso, o ambas cosas, o ninguna. Aplicando el principio de multiplicación se obtiene el resultado.

Que nadie recupere tanto su abrigo como su bolso es entonces el hecho complementario:
$$(n!)^2 - \sum\limits_{i=1}^n (-1)^{i+1}\binom{n}{i}((n-i)!)^2$$