Definición de "tiempo de explosión" en el contexto de las EDP

Question

$$\partial_t u - x \partial_x u = -u^2$$ $$u(x,0) = u_0 (x)$$

(i) Hallar el tiempo de reventón $t_*$ para los datos de Cauchy $u_0(x) = cosx$ y determinar la posición $x(t_*)$ que la solución desarrolla polos.

Encontré una solución para esta EDP usando el método de las características, pero nunca oí

el término "tiempo de explosión" para el contexto de las EDP. Parece que tiene

algo que ver con la solución que va al infinito, pero no estoy seguro. ¿Alguna ayuda para resolver este problema?

Answer 1

$$\frac{\partial u}{\partial t}-x\frac{\partial u}{\partial x}=-u^2$$ En las curvas características, las ecuaciones diferenciales son : $$\frac{dt}{1}=\frac{dx}{-x}=\frac{du}{-u^2}$$ Una primera curva característica procede de $\quad dt=-\frac{dx}{x} \quad\to\quad xe^t=c_1$

Una segunda curva característica procede de $\quad dt=-\frac{du}{u^2}\quad\to\quad \frac{1}{u}-t=c_2$

La solución general de la EDP puede expresarse en forma de ecuación implícita $\Phi(c_1,c_2)=0$ donde $\Phi$ es cualquier función diferenciable de dos variables : $$\Phi\left(xe^t,\frac{1}{u}-t\right)=0$$ O, en una forma explícita equivalente, con $F$ cualquier función diferenciable : $$\frac{1}{u}-t=F(xe^t)\quad\to\quad u(x,t)=\frac{1}{t+F(xe^t)}$$ Teniendo en cuenta la condición inicial : $$u(x,0)=u_0(x)=\frac{1}{0+F(xe^0)} \quad\to\quad F(x)=\frac{1}{u_0(x)}$$ Con $F(xe^t)=\frac{1}{u_0(xe^t)}$ la solución particular de acuerdo con la condición inicial es : $$u(x,t)=\frac{1}{t+\frac{1}{u_0(xe^t)} }=\frac{u_0(xe^t) }{1+t\:u_0(xe^t)}$$ En caso de $\quad u_0(x)=\cos(x)$ $$u(x,t)=\frac{\cos(xe^t) }{1+t\:\cos(xe^t)}$$ $|u|\to\infty$ es decir: "reventón", cuando $\quad 1+t\:\cos(xe^t)=0$ $$x_\text{blow-up}=e^{-t}\cos^{-1}\left(-\frac{1}{t}\right)\quad\text{with } t\geq 1$$ No se infla mientras $t<1$ .

Answer 2

Al aplicar el método de las características a este problema se encontrará con la EDO de Riccati correspondiente $$\begin{cases} \dot{z}(t) = - (z(t))^2\\ z(0)=z_0 \end{cases}$$ Resolvemos esto observando que si existe una solución, entonces $$\frac{d}{dt} \left(\frac{1}{z(t)} \right) = -\frac{\dot{z}(t)}{(z(t))^2} = 1,$$ y así podemos integrar para encontrar $$\frac{1}{z(t)} - \frac{1}{z_0} = t.$$ Por lo tanto $$z(t) = \frac{z_0}{1 + t z_0},$$ y podemos comprobar por cálculo directo que ésta es realmente la solución. Obsérvese, sin embargo, que si $z_0 < 0$ en realidad la solución se vuelve singular cuando $t = -1/z_0 >0$ . De hecho, tenemos que $$\lim_{t \to (-1/z_0)^-} z(t) = \infty,$$ y esto se suele denominar el "estallido" de la solución en el "tiempo de estallido" $t = -1/z_0$ . Algo similar ocurre si $z_0>0$ pero en este caso la singularidad se produce para $t = -1/z_0 < 0$ por lo que si sólo estamos interesados en $t\ge 0$ entonces no se produce ninguna explosión.

La pregunta que te han hecho quiere que imites el análisis anterior para tu PDE. Esto tiene sentido en este caso, ya que resuelves el problema utilizando métodos ODE, y así puedes seguir el argumento anterior.