Anillo de cohomología con $\mathbb{Z}_n$ coeficiente

Question

Hay muchos resultados de anillo de cohomología con número entero o $\mathbb{Z}_2$ coeficientes. ¿Puede uno a partir de esos conocimientos obtener anillo de cohomología con $\mathbb{Z}_n$ coeficiente, $H^*(M^d, \mathbb{Z}_n)$ en el espíritu del teorema del coeficiente universal (con la posible aportación de $H_*(M^d, \mathbb{Z}_n)$ ).

Por ejemplo, sabemos que tanto $H^*(\mathbb{RP}^3, \mathbb{Z})$ y $H^*(\mathbb{RP}^3, \mathbb{Z}_2)$ . Pero, ¿qué es $H^*(\mathbb{RP}^3, \mathbb{Z}_n)$ ?

Answer 1

Si los grupos de cohomología están finitamente generados, entonces se puede trastear para recuperar la homología y luego la cohomología grupos con coeficientes arbitrarios de $H^*(X; \Bbb Z)$ mediante el teorema del coeficiente universal. Pero la estructura del anillo no respeta el teorema del coeficiente universal. Lo mejor es tomar la forma en que calculaste el anillo de cohomología originalmente y luego hacerlo con coeficientes diferentes.

Como ejemplo explícito, $L(3,1)$ y $M_3 \vee S^3$ tienen el mismo $\Bbb Z$ y $\Bbb Z/2$ anillos de cohomología (el producto taza es estúpido en ambos), pero diferentes $\Bbb Z/3$ anillos de cohomología. (Aquí $M_3$ es $S^1 \cup_f D^2$ donde $f: S^1 \to S^1$ viene dado por $z \mapsto z^3$ .) $H^*(L(3,1);\Bbb Z/3)$ es generado por un $\alpha$ en grado $1$ , a $\beta$ en grado 2, y satisface que $\alpha \beta$ es el generador en grado 3; al mismo tiempo $H^*(M_3 \vee S^3)$ ciertamente no tiene un generador de grado 1 y 2 que tengan un producto distinto de cero en grado 3.