"Un matemático es una persona que puede encontrar analogías entre teoremas; un mejor matemático es aquel que puede ver analogías entre pruebas y el mejor matemático puede notar analogías entre teorías. Uno puede imaginar que el matemático supremo es aquel que puede ver analogías entre analogías".
--Stefan Banach
Véase también aquí: Frases célebres sobre matemáticas
Entonces, ¿alguien puede dar un ejemplo de analogía entre analogías?
Creo que el siguiente es un buen ejemplo. La Teoría de Galois clásica da una analogía entre los étale finitos $k$ -y conjuntos finitos con una acción del grupo de Galois absoluto $\mathrm{Gal}(k)$ de $k$ . La Teoría Clásica de los Espacios de Cobertura ofrece una analogía entre las coberturas de un espacio topológico agradable $X$ y conjuntos con una acción de los grupos fundamentales $\pi_1(X,x)$ . Por supuesto, estas dos analogías pueden precisarse con un poco de teoría de categorías.
Ahora la analogía entre estas analogías es llamar a ambas analogías correspondencia de Galois y comparar $\pi_1(X)$ con $\mathrm{Gal}(k)$ llamar a ciertas coberturas coberturas de Galois, comparar la cobertura universal de $X$ con el cierre separable de $k$ etc.
El hermoso libro de Tamás Szamuely "Galois Groups and Fundamental Groups" da muchos detalles y mucho más sobre la conexión de estas cosas.
Es una lástima que Jan Weidner formulara su pregunta: "¿Puede alguien dar un ejemplo de analogía entre analogías?". -- de tal manera que es poco probable que reciba muchas respuestas perspicaces del tipo de las ofrecidas por Joel David Hamkins y philip314. No sé hasta qué punto será perspicaz mi propia respuesta, pero puedo proporcionar un contexto para el tema de la analogía, ya que fui yo quien añadió las citas de Stefan Banach y Stanislaw M. Ulam a la lista de ejemplos de analogías. frases célebres sobre matemáticas .
Es cierto que Banach es la fuente original de la cita, pero yo encontré el tema por primera vez en las memorias de Ulam Aventuras de un matemático (1976; 1991). Allí me enteré de que la editorial de la Universidad de California había publicado una colección de artículos de Ulam titulada Analogías entre Analogías: Los informes matemáticos de S.M. Ulam y sus colaboradores de Los Álamos (1991). La colección incluye el artículo "On the Notion of Analogy and Complexity in Some Constructive Mathematical Schemata" (1981). En lugar de intentar resumir los resultados de Ulam, me limitaré a ofrecer un extracto de la introducción del trabajo para que los lectores interesados puedan investigar el tema por su cuenta:
A lo largo del desarrollo de las matemáticas y con la aparición de nuevos conceptos y nociones más complicadas, una tendencia cohesiva y una estructura orgánica se han guiado por un sentimiento de analogía entre las ideas nuevas ideas.
Históricamente, los problemas planteados por el desarrollo de una nueva una nueva disciplina matemática metamatemática, se convirtieron en nuevas partes de las propias matemáticas. Podríamos citar, como ejemplos obvios, el estudio de las transformaciones de un espacio como puntos de un nuevo espacio de tales transformaciones, y el estudio de algoritmos para resolver ecuaciones como entidades per se (teoría de grupos, por ejemplo).
La creciente proliferación de nociones en matemáticas puras puede sugerir que la idea de analogía es susceptible de ser matemática. Se encuentran formulaciones formulaciones elementales de esta idea están, en casos especiales, presentes en las definiciones de la semejanza de figuras geométricas, más generalmente en la equivalencia de figuras-conjuntos, a través de los elementos de un grupo de transformaciones o, más generalmente aún, mediante la identidad de proximidad de tales conjuntos en los espacios que los que los engloban.
Dos conjuntos abstractos de elementos pueden ser análogos" si la diferencia entre diferencia entre sus cardinalidades (en el caso finito) es pequeña comparada con las propias cardinalidades. Dos clases de tales conjuntos pueden considerarse análogas si el número de conjuntos de difieren en "poco" y si las cardinalidades de los conjuntos correspondientes tampoco difieren mucho. Evidentemente, hay que intentar formular un criterio cuantitativo, y está claro a priori que la noción de analogía no será no será, en general, transitiva.
En este informe sólo queremos algunas de las características de la analogía y exponerlas en una clase de ejemplos en los que intentaremos definirla, en un primer momento, como proximidad en distancia métrica en espacios espacios convenientemente definidos. (Ulam 1991; 514)
Esperemos que el artículo de Ulam proporcione algunas herramientas para que el tema de la analogía sea menos "lejano".
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