Edición: Supongamos que el campo K tiene una característica positiva.
Digamos que tengo un campo de funciones algebraicas $F$ sobre el campo $K$ con característica > 0 dada por una ecuación de Weirstrass $w(x,y)=y^2-x^3-ax-b \in K[x,y]$ En otras palabras $F$ es el campo de fracciones del anillo cociente $K[x,y]/(w)$ . $w$ es irreducible. Y supongamos que $w$ es suave.
Denotemos ahora $t=y+\lambda x + \mu \in K[x,y]$ . Supongamos que la "curva" (línea) dada por $V_t$ se cruza con $V_w$ exactamente en 2 lugares diferentes. Por lo tanto sé que el polinomio $w(x,-\lambda x - \mu)$ sólo tiene 2 raíces distintas, por lo tanto no es separable porque su grado es 3.
Quiero demostrar que $F/K(t)$ no es una extensión de Galois. Mi conjetura sería tratar de encontrar un elemento de $F$ tal que $w(x,-\lambda x - \mu)$ es un polinomio mínimo de ese elemento sobre $K(t)$ . Como sé que no es separable la extensión no sería separable.
También veo que $w(x,-\lambda x - \mu)=-y^2+x^2\lambda^2 + 2\lambda \mu x + \mu^2 \in F$ desde $y^2 = x^3+ax+b$ en $F$ .
¿Es el camino correcto? ¿O debería buscar algo más que la separabilidad? Me he pasado horas intentando encontrar algo, pero no he tenido suerte.
Agradecemos cualquier sugerencia.
